極限的意義
極限（Limit）是分析學中的基礎概念之一。
極限可以用過來描述一個序列的指標越來越大時，序列中
元素性質變化的趨勢
。極限可以描述子變數接近某一個值的時候，對應的函式值
變化的趨勢
。
極限的定義
極限的嚴格定義由Cauchy於19世紀給出：
，
而對於函式，則有如下定義：
令
是一個定義於包含c的開區間（或此開區間I在c處無定義）上的函式，命L為一個實數，那麼：
，
表示
使得，當滿足
極限的數學符號表示：
在這裡，僅給出
函式
上極限的符號表達：
不要小看這個極限符號表達，討論極限，就是在討論這些
符號
的深刻含義。
關於自變數‘——>’的符號演化引發的感想
極限的符號為lim， 它出自拉丁文limis的前三個字母。
德國人S。L‘Huilier首次使用它，但是在他的敘述中‘x趨向於a’，一水地被記作了‘x = a’。
這個錯誤告訴我們：
無限接近‘趨向’於某值和‘就是’某值
具有天壤之別。
對於就是，我們可以透過‘=’來翻譯，對於趨向我們可以用‘
’來反映。
中的‘——>’具有又大又好又新的意義，顯見地，’approach‘這個符號本身，就蘊含著極為豐富的內涵，包括之後的實數連續性，不過這是後話。
我們在
符號上
分開了，極限中的
‘就是’
和
‘趨向’
，就已經意識到了極限甚至連續的一些微妙的地方，這時候其實我們對極限還一無所知，或者只有一個似是而非的模糊理解對麼？但是，我們已經擁有，並且必須在接下來的學習中清醒如下的翻譯關係：
‘
=’的意義為‘就是’，‘-->’的意義是趨向，除此之外別無他意。（
儘管我們還尚未用直觀的數學表達來定義什麼是‘趨向’）。
而且我們在這裡需要注意一個地方，剛剛包括接下來我們所討論的，都僅僅是自變數（index/input）的‘趨向’刻畫，即
部分，而我們還尚未進入
部分。
定義‘趨向’是在定義什麼？
趨向在英文中翻譯為approach，
接近。
因此，給出答案：定義什麼趨向，就是在定義什麼是‘接近’。
或者更精確地，就是在定義是什麼‘無限接近’（infinitely approach）。
OK，我們又一次完成了一個富有意義的工作：
翻譯
（其實翻譯概念就是在抽象化概念）
顯見地，
無限接近
趨向：
下面，我們來定義無限接近：
首先，我們來思考一下，近（close）這個詞的語境：
假如有小李（馬大哈），小敏（嚴謹邏輯狂），數學老師老張（劇情需要者）三個人，小李家在學校以東1000米處，小敏家在學校以西500米處，數學老師老張家在學校以北100米處，他們三個人聊天。發生如下對話
小李：哎呀，小敏的家離學校好
近
啊！我真的苦逼，哭遼哭遼。
小敏：小哥哥，話不能這麼說。你看，張老師的家和我家比起來，離學校的
距離是更小的
。
我的家離學校可是一點都不近。
數學老師老張：嗯嗯。
小李：（一臉懵比）誒？為什麼你的家離學校的距離不變，但我們對遠近的判斷卻是相反的？
數學老師老張：呵呵，你倆的判斷其實都沒錯，因為……。
小敏：那是因為你在給出近的判斷的同時，先給定了一個參照物——你家。而我的參照物是
老師家。
數學老師老張：簡言之，相對性。
你看，從上面的對話中我們能得到兩點資訊：
1/遠近，是一個相對的概念，也就是說：如果我們不給定一個參照物來討論距離的遠近，那就無法達成唯一的結論。在數學中，一個命題只有真假兩種情況，也就是說只有規定了參考物，我們才不至於從“小敏家離學校近”這個命題匯出兩個正確的結論，我們討論'近'的命題，實際上是在討論“與誰誰相比，誰誰離誰誰的距離小”
2/數學老師老張是個悶棍子。
那我們定義近，就好辦多了。
兩個數學家聰明的A與笨笨的B 在理解了上面的知識後，為定義
（x無限接近於
）爭得面紅耳赤：
A：你就說吧，誰接近於1？
B：額，0。9！
A：0。99比0。9更近，你錯了。
B：那0。999！
A ：哈哈，0。9999比0。99更近，你又錯了！
B：（恍然大悟）你這個老鬼在耍流氓！你連個參考物都不給我，就讓我定義‘近’！我在沒有參考物的情況下，給出了一個數，你就拿我這個數當參考物，給了一個更近的是不是！當我再拿你這個數作參考物，你他喵地又換了一個參考物！！
不成，你得先給個參考數！
A：成，那你就說吧，跟0。5相比，誰接近於1？
B：0。9！你能說我的答案是錯的麼？
A ：好吧，這回還真不能了。那你能告訴我誰無限接近於1麼？
B：什麼叫做無限接近？
A：近得不能再近了。也就是說，
沒有一個數比你給的數離 #FormatImgID_16# 的距離更小了
。
（注意，這句話看似沒問題，但是能夠定義無限接近麼？）
B：呵，雖然我現在不太明白，但我知道只要你讓我定義近，就得給參考數！快給！
A：0。999
B：那我就給0。9999！
A：打住！0。99999比0。9999更接近於1啊，你這個答案不算‘無限接近’。
B：那0。99999999999999
A：這也不算，按我的定義，0。999999999999999999999999999999999更近。
B：這下我學聰明瞭。按你這個邏輯，無論我給什麼數，都不算是無限接近咯。所以不存在一個數無限接近於1！
A：是啊，這可怎麼辦呢？難道我們就沒辦法定義無限接近了？
……若干年之後……
B：我知道了！你這老鬼，之所以我每次都是錯的，或者按照你的標準找不到，那是
因為參考數是變化的啊！在你的定義中，仔細想想：的確你一開始給了一個參考數不假，但是按照你的定義，只要我給出一個數，那麼我的這個數就自動地成為了參考數！（定義是：給出一個沒有你給出的數離
距離更小的數字）之前的參考數被‘覆蓋’。簡言之，你給的定義在自洽地，自動地換參考數。
我學乖了，你的參考數一旦選定，不準動！
A：那我們還怎麼定義‘無限接近’？
B：
這……是個問題。
聰明的你，意識到了麼？
如果要比較近，那麼一要一個參考數，二要固定參考數不變。
對於無限接近，數學家A首先給出的定義是直觀的：
存在這樣一個數，沒有一個數比它與 #FormatImgID_18# 的距離更小，則稱這個數字無限接近於 #FormatImgID_19#
。但是，這個定義是永遠找不到一個具體的數字的。因為：實數具有稠密性。參考數在你給出那個數字的時候，就變化了。
而我們現實中的數學家意識到，我們可以用
自然語言
這樣敘述這個定義：
若一個數字，與 #FormatImgID_20# 的距離要多麼小就有多麼小，那麼這個數字無限接近於 #FormatImgID_21# 。
OK ，現在我們再看待無限接近的定義：
——It does make sense， doesn’t it？
注意！我們花了這麼多篇幅來理解如何深入“無限接近”都是為了這臨門一腳
的意義是什麼？是任意？其實不完全，是
任意選定，literally.
實際上是在抽象化我們的參照數，它不僅說明，選是任意的，而且說明了很重要的卻被很多人忽略的一點————只要選了那就是選定的。
這裡用了一個很tricky的技巧：
我們有一個參照數，這個參照數用
表示，在我不給
賦予一個具體值之前， 它不代表什麼數字。但是一旦我給定了一個值那麼，它就是確定的。
什麼是無限接近，無限接近就是無論你給什麼值，我都比這個值更近。而在你沒有給定這個值之前，那我先用一個籃子
替代你要給的這個數的位置，如果我給的數滿足的關係總是小於你這個籃子裡的數，我就能保證：要多麼近，就有多麼近。
舉個例子，我用一個表示式，
，
就能保證要多麼近就有多麼近對麼？
換句話說，只要我們能找到
#FormatImgID_29# 與 #FormatImgID_30# 之間的
關係，就能保證x離
的距離要多麼近就有多麼近了。這就是接近，無限接近。是一個動態的概念定義。
動態定義說了這麼一件事：x是什麼數字不是一成不變的，是動態變化的，但只要你給且給定一個參照數，你就根據事先編好的規則往下讀吧，我緊接著給出的x肯定滿足你的條件。
因為我只是在刻畫一個關係——無限接近的template。
為什麼，我給出一個數使得沒有一個數字比這個數更近，定義失效呢？
原因很簡單，在於它是靜態的。它妄圖在沒有參照數的情況下絕對地用一成不變的數字定義無限接近。這個的錯誤之處，數學家A 和B 已經說明了。
這也是為什麼我們總覺得極限這個概念飄渺虛幻的一個地方，因為它並沒有一個明確的邊界告訴你，OK 過了這條線那你就是無限接近，沒過那就不是。
只是刻畫了一個關係：我畫的線總是在你的腳前。
而既然我的腳可以走遍實軸的半軸，是動的，那麼我這個線總是可以比你的腳走的多一點點。
這樣，我們成功地用數學語言刻畫了“趨向”。
總結一下，我們刻畫的思路：
我們的目的：解釋
符號
自然語言刻畫：趨向，又等價於接近
由於近需要有參照數字，因此我們需要一個參照數字。
首先，我們先認為：無線接近就是沒有一個數比我們給的數離某個定值距離更小。
但是我們發現，這種定義是難以實現的，因為沒有任何一個數字或表示式滿足這樣的條件。
原因在於參照數在無時無刻改變。
之後，我們認為：無限接近就是要多麼近就有多麼近。
在這裡，我們成功定義。為什麼呢？因為，這種定義形式就要求，我們先給一個固定不變的參照數。那麼必定存在一個表示式滿足無論你給這
個參照數字賦予什麼值，我都比參照數更加小。
這就達成了我們的目的。
OK，那麼：
這部分就很容易理解了。
但是！！！！！
還有一個迷惑點：我們在一開頭講清楚了，等於是等於，趨向是趨向，然而！！！
和
裡面不就是混用了麼？！
其實不然，雖然第一個更精確。但是第二個也是正確的，只不過多了一步。
考慮如下命題：對於
，
取
，透過反證法，易證。
其實這個命題你在不知不覺中就使用了：
考慮下面的等式：
你咋算的？ 是不是把x = 1 帶進去的？
想過沒有，為什麼 x明明不能取到1 但是你卻帶上了1？
你也許沒想，那還好
或許想了，但是隻是一知半解，簡單地犯了開頭那個德國人的錯。
，對不對？對又不對。
如果你像那個德國人一樣，認為
就是
到達了
，那就不對。
如果你理解成，
的
值
，那就對。
never reach the
in the real axis， however it can be equal to the value of
。
這個命題隱含在你帶進去的地方。
還有一點要千萬千萬注意：
只意味著一個數值！！！！！！！
它只是一個數值！！！！！！
只是一個數值！！！！！！！
跟函式在
處有沒有定義沒關係。
OK 我說完了。
