兩個重要極限，是人們總結出的非常有用的結論。 許多題目都可以轉化到它們身上。
1.
這個重要極限的框架是：
只要兩個
裡的形式完全一致，並且 x 的趨向方式能使得兩個
都趨於零，那這個極限就等於 1。 在課本上，這個極限是用夾逼準則證明的，這也是最佳的證明方法。 我們最好不要用洛必達法則，因為在使用洛必達法則時，會遇到 sin x 的求導問題，我們現在當然知道 sin x 的導數是 cosx ，但是事實上（sinx）‘=cosx正是利用這第一個重要極限證明的。 所以一旦用洛必達法則證明了第一個重要極限，會產生迴圈論證的問題。當我們遇到有關三角函式的極限時，要善於往這個重要極限身上考慮，畢竟這個重要極限就是關於三角函式的嘛。 因為這個重要極限中只有正弦，所以當遇到切函式（正切餘切）和割函式（正割餘割）的時候，要嘗試一下能不能透過“切割化弦”，即利用“
“來解決問題。 而對於餘弦，則可以考慮用二倍角公式的變形
來換走它。 當然，我們也不能不管三七二十一地一換了之，有些本不必換走就能做出來的，如果強行換走，會南轅北轍。 所以你的變形一定要有目的地進行，不能亂變一通。下面看一個例題：
還有一個值得注意的例題，極限
是不是等於 1 呢？它看起來
確實非常符合上述框架，但它也確實不等於 1。 但是根據函式在
時的極限的
定義，函式 f（ x ）在點
的某一去心鄰域內有定義，而對於那些在去心鄰域內沒有定義的函式，是不能討論極限的。 這個極限
的分子上有一個
在 0
x 時能夠非常頻繁地取到零值，而且 x 越趨於 0，
越頻繁地等於 0，
越頻繁地無意義，在 x=0的任何一個去心鄰域內都無法保證一直有意義，所以這個極限是不符合函式極限的定義的。 因此
不存在。
2.
或者
這個重要極限的框架是
。 只要兩個
裡的形式完全一致，並
且 x 的趨向方式能使得兩個 都趨於無窮，那這個極限就等於 e 。當我們看到指數上含有 x 的時候，要善於往這個重要極限身上想。 不過有時候這個指數是“隱形”的，打眼一看沒有指數，比如
。這的確沒有指數，但是我們透過對數的運算性質，就能變出指數：
還是mythtype打的舒服。有時候對數真的挺神奇的~（這道題可不可以用等價無窮小呢？對這道題而言，最好不要，因為既然讓你做這道題，應該出題者的意思是讓你證明它倆是等價無窮小。 你都不知道這個極限是 1，怎麼知道它倆是等價無窮小呢？）
還有的時候，括號裡面並不是
的形式，這就需要我們湊出來。 怎麼湊呢？首先，如果沒分離常數就先分離常數。 分離完常數以後，把分離剩下的那個分式取個倒數放在分母上，應該就是一個
的形式（一般你分出的常數都是 1）。 比如
接下來處理指數。 首先要把指數變成跟剛才分母上一樣的形式，然後再看看跟原本的指數有什麼變化，多加了再減掉，多乘了再除掉。比如
。透過剛才的分離常數，我們變形成了
。所以我們先暫時寫成
，再跟 x 作比較，發現這個指數比 x 多加了 3，多除以了 5。 所以應該倒回去就應該是
接下來就很容易得到答案
。 當然除此之外我們還有一種方法來解決這道題：
一般的，我們有
證明方法就是把上面的過程走一遍。有了這個，我們就瞬間知道
填空直接填，再也不怕咯~有一件神奇的事情是，透過結論能看出，指數上的 d 對這個極限值並沒有影響。
以上兩個重要極限，是解決很多極限問題的鑰匙，有太多題目都可以轉化成這兩種題型，一定要靈活運用。
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