隱函式求導
引數方程求導
隱函式
顧名思義,隱函式可以理解為隱藏的函式。自打我們學習函式以來,大部分的函式都是這樣子
自變數和因變數的值都是分散在=號兩側,楚河漢界,涇渭分明。也就是說y和x的位置永遠是相異的,它們是不會在一起的,這種函式形式我們稱之為顯示函式。有了顯示的,那當然肯定會存在隱式的。因此,隱函式只是一個相對的概念,它是相對於顯示函式而言的。
隱函式大部分都長這個樣子:
它常常用這一種形式表示出來
請注意,即使形式跟顯函式不一樣,但是自變數依舊是x,因變數依舊是y。都是可以表示為y是關於x的某個函式。
官方定義 如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函式,那麼稱這種方式表示的函式是隱函式。而函式就是指:在某一變化過程中,兩個變數x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函式。這種關係一般用y=f(x)即顯函式來表示。
求導法則
方法1:先把隱函式轉化成顯函式,再利用顯函式求導的方法求導
方法2:隱函式左右兩邊先對x求導,但是一定要把y看成是x的函式
方法3: 利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導,再透過移項求值
例題:
引數方程求導
搞定了一個隱函式,那麼引數方程又是什麼意思呢?引數方程其實也是一個函式,只不過這回y和x的關係不是那麼直接了,而是交給了一箇中間變數來進行過渡。用關於中間變數的表示來表示就是
這個方程確定了一個函式y=y(x)的關係,因此對於x求導等於
對於二階導數為
例題