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本文主要首先把書上的定義和知識點總結起來，方便複習要點背誦，同時在最後分割線之後補充自己當時在學習定義的過程中的理解！
歡迎評論自己不懂的內容，我後續補充理解哦~謝謝支援（#^。^#）
1、定義數列極限：設有數列{
}，若存在一個常數A，對任意
給定正數ε（無論它多小），
總存在著正數N，使得對適合不等式n＞N的一切正整數n，恆有
成立。
則稱為在n趨於無窮時，數列{
}以A為極限，或稱數列{
}收斂於A，記為
或
如果不存在這樣的常數A，就說數列{
}沒有極限，或者說數列{
}是發散的，習慣上也就說
不存在。
注意有兩點：
（1）ε的任意性
（2）N的存在性（這裡需要說明一下，在驗證的數列的極限的時候，為了讓最後的數列與極限相減的結果小於ε，所以很多時候N都取一個關於ε的表示式，即N=f（ε））
2、收斂數列的性質
（1）唯一性：
數列{
}收斂，則它的極限是唯一的。
（用反證法證明）
（2）有界性：
數列{
}收斂，則{
}必有界。
後面有對有界性證明過程的說明《1》處
注意：如果數列{
}無界，則{
}必發散。
（3）保號性：
若
，則A＞0（或A＜0），則必存在正數N，當n＞N時，恆有
＞0（或
＜0）
3、子列
定理（1）：若數列{
}有極限A，則它的任一子列{
}也以A為極限。
定理（2）：若數列{
}有一個子列發散，則{
}也發散。
《1》證明有界性：
證明過程：
設
則對
，必存在正數N，n＞N時，恆有
，從而有
，而不滿足以上不等式的項只有有限項u1，u2……un，故取M=max{|u1|，|u2|，。。。。，|uN|，|A|+1}，
則對一切n都有
成立，所以數列{
}有界。
這裡說明一下取
這裡其實只是為了讓我們理解比較方便，就是那個max括號裡面最後＋1的那個，因為n趨於無窮的時候，收斂到A上，所以存在n＞N的時候，就滿足了上面那條式子
，
這條式子表明，n大於N的時候，un都小於
，
因此，在n在1~N的取值，即u1，u2......un以及另外一個值 #FormatImgID_31# 當中的最大值，就是整個數列的最大值，所以證明這個數列有界。
