【排隊論學習筆記】MM1佇列和MMs佇列

M/M/1佇列和M/M/s佇列的條件

（1）佇列長度沒有限制。

（2）顧客到達的時間間隔和服務時間均服從指數分佈。

（3）服務檯數量分別為1和s。

推導過程中會用到的三個比較重要的知識

（1）在推導平均排隊長度的時候，需要構造微分形式，並交換微分符號和求和符號。

（2）在推導等待時間的機率分佈時，需要用到Gamma分佈（或Erlang分佈）的機率密度函式。

（3）要熟悉常見的幾個無窮級數。

M/M/1佇列

M/M/1佇列的示意圖如下：

由Birth-and-Death Process得到：

：Number of busy servers；

：Peroid of time that a server is busy。

這兩個引數的實際意義可以透過下圖理解：

每個狀態的機率分佈：

四大引數，以及平均等待時間

的分佈：

其中，平均等待時間

服從引數為

的指數分佈。

M/M/s佇列

M/M/s佇列的示意圖如下，注意前s個狀態的轉出速度是

：

同樣由Birth-and-Death Process得到：

透過

可以推匯出

，具體的推導過程和推導要點如下：

狀態的機率分佈由

得到，在此不再贅述。

下面列出

四大引數的計算方法，由Little‘s Law可以知道，這四大引數“知一求四”，因此只需推導其中的一個就可以。

我們從

開始推導。這是因為當系統中的人數（系統狀態）小於s的時候，佇列裡不會有人（人都直接到server那裡去了）。由於

是分段的，從

開始推導比較方便。

平均等待時間

的分佈：

其中，平均等待時間

的分佈可以拆成兩個部分：系統中人數大於等於server數量的機率（即需要排隊的機率）×在需要排隊的條件下等待時間

的分佈。前者可以透過

計算，後者服從引數為

的指數分佈。

推導時用到的一個無窮級數