兩個（在同構意義下）有包含關係的域

K \subseteq L

，域

K

的運算是域

F

的運算在

K

上的限制，這使得

K

成為

子域(subfield)

，

F

成為

擴域(extension field)

，記為

L/K

（這個記號沒有商的意義）。在

K

中新增

S

生成的擴域

K(S)

，它是包含

K

和

S

的最小的域。

有限擴域

L:K

的

次數(degree)

為

[L:K] = \dim^K L \\

即

L \in \textbf{Vct}_K

作為

K

-線性空間的維度。

線性空間範疇

以實數域

\mathbb R

擴到複數域

\mathbb C

為例說明域擴張

\mathbb C/\mathbb R

。複數有兩種以上等價的表達方式：

\begin{align} z &= a + b i \nonumber \\ & = aI_2 + bJ_2= \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \nonumber \\ \end{align} \tag{1}

其中

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & \\ & 1 \end{bmatrix},\quad J_2 = \begin{bmatrix} & -1 \\ 1 & \end{bmatrix} \\

分別為單位矩陣和辛矩陣。（1）中的兩種表達方式線上性空間同構的意義下是相同的，基分別為

\{1,i\}

和

\{I_2,J_2\}

。復域構成

2

-維實線性空間

\mathbb C \simeq \mathbb R^2 \in \textbf{Vct}_\mathbb R

，其維度就是域擴張的次數

[\mathbb C/\mathbb R] = 2

。

（1）的矩陣形式，特別是矩陣乘法的規則，暗示了線性空間範疇

\textbf{Vct}_\mathbb R

中的自態射。給定基後，矩陣空間表示了

\mathbb C \simeq \mathbb R^2

上的

自同態環(endomorphism ring)

，記為

\text{End}(\mathbb C \simeq \mathbb R^2) \in \textbf{Ring} \tag{2}

域同態蘊含著

環同態(ring homomorphism)

，考慮域上的

自同構(automorphism)

集合，以同構的複合為二元運算，以平凡的恆等自同構為單位元，構成域上的

自同構群(automorphism group)

\text{Aut}(\mathbb C \simeq \mathbb R^2) \in \textbf{Grp} \tag{3}

（2）和（3）就是環和群線上性空間上的表示。線性空間上的群表示自然產生了Lie群的概念，不難理解在單位圓上，（1）的兩種表示相當於Lie群的同構

\text{U}(1) \simeq \text{SO}(2)

。

對合

考慮自同構群

\text{Aut}(\mathbb C)

。它有平凡元即恆等對映

\sigma_1

，相當於單位矩陣。此外它有一個非平凡元即複共軛

\sigma_2

。

\mathbb C

構成*-代數（MP54：線性運算元（7）：C*代數、Arens引理），而複共軛

\sigma_2

就是*-代數中的

對合(involution)

——週期為2的共軛線性反自同構。根據（1）它在兩種表示下可以分別用共軛和轉置來表示，相當於線性空間範疇中的

伴隨(adjoint)

運算元：

\begin{align} \sigma_2: \mathbb C &\to \mathbb C \nonumber \\ \nonumber \\ a + \text i b &\mapsto \sigma_2(a + \text i b) \nonumber \\ & = a - \text i b \nonumber \\ \nonumber \\ \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} &\mapsto \sigma_2\left(\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\right) \nonumber \\ &=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \nonumber \\ \end{align} \tag{4}

在

自伴(self-adjoint)

元時相當於退化到了實數，也便於理解自伴運算元具有實的譜。上式令

b=0

退化到域

\mathbb R

，顯然複共軛在域

\mathbb R

上不變。自伴元退化到實數，相當於自同構群

\text{Aut}(\mathbb C)

限制在

\mathbb R

上是恆等，記為

\text{Aut}_\mathbb R(\mathbb C)

。即實際上自同構群

\text{Aut}_\mathbb R(\mathbb C) = \{\sigma_1,\sigma_2\}

正是由恆等對映和複共軛對映構成。

有理域的擴域

考慮域

\mathbb Q

，新增元素得到

\mathbb Q(\sqrt 2) = \{a + \sqrt 2 b \ | \ a,b\in \mathbb Q\} \\

進而

\begin{align} \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3) &= \mathbb Q(\sqrt 2)(\sqrt 3) \nonumber \\ &= \{a + \sqrt 3 b \ | \ a,b\in \mathbb Q(\sqrt 2)\} \nonumber \\ &= \{a + \sqrt 2 b + \sqrt 3 c + \sqrt 6 d \ | \ a,b,c,d\in \mathbb Q \} \nonumber \\ \end{align} \\

並且有

\begin{align} \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3) &= \mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3) \nonumber \\ &= \{a + (\sqrt 2+\sqrt 3) b + (\sqrt 2+\sqrt 3)^2 c + (\sqrt 2+\sqrt 3)^3 d \ | \ a,b,c,d\in \mathbb Q \} \nonumber \\ \end{align} \\

現在考慮擴域

\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3):\mathbb Q

，把*-代數中的對合概念，用於更多生成元的擴域中。除了恆等對映

\sigma_1

，還有以下自同構：

\begin{cases} \sigma_2(\sqrt 2) = \sqrt 2,\quad \sigma_2(\sqrt 3) = -\sqrt 3 \nonumber \\ \sigma_3(\sqrt 2) = -\sqrt 2,\quad \sigma_3(\sqrt 3) = \sqrt 3 \nonumber \\ \sigma_4(\sqrt 2) = -\sqrt 2,\quad \sigma_4(\sqrt 3) = -\sqrt 3 \nonumber \\ \end{cases} \\

\mathbb Q

-不變的自同構群為

\text{Aut}_\mathbb Q\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3) = \{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4\}

。