[不定積分]無理函式積分策略

0.前言

全文參考同濟高等數學教材第7版，接力題典1800，考研全書基礎篇。解決這種型別的題目需要的知識有湊微分，三角換元，簡單無理積分

$\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[n] \frac{{ax+b}}{cx+d}$

，倒代換。具體題型見下文。

1.常見題型

1。

$\int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x(a \ne 0)$

這類題型最為普遍，基本思路為：

$\begin{align*} & \quad \int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x \\ & = \frac{p}{2a}\int \frac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x+\int \frac{q-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x\\ & = \frac{p}{2a}\int \frac{\mathrm d (ax^2+bx+c)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} +\int \frac{q-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x\\ & = \frac{p}{a} \sqrt{ax^2+bx+c}+\int \frac{q-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x \end{align*} \\$

對

$\int \frac{q-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x$

的積分需要具體情況具體分析，不過可以肯定的是它是

$\int \frac{1}{ \sqrt {a^2-x^2 }} \mathrm d x$

，

$\int \frac{1}{ \sqrt {a^2+x^2} }\mathrm d x$

和

$\int \frac{1}{ \sqrt {x^2-a^2} }\mathrm d x$

的複雜形式。

e。g 基礎全篇P51 例3 （4）

e。g 基礎全篇P51 例4

e。g 同濟教材總習題四P222 4（10）

這道題除了解法1外，還提供瞭解法2，即簡單無理換元，簡單無理換元雖然比較麻煩，但是卻有它的優勢，這個將在後文談到。

2。

$\int \frac{P_m(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x(a \ne 0)$

其中

表示次數為m次的多項式，且m大於等於2。這種型別的題也非常常見，而且它總是可積的，這裡不寫證明（主要是我覺得現在沒必要去驗證），講個大概思路，對

$\sqrt{ax^2+bx+c}$

進行三角換元，那麼

$\int \frac{P_m(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x$

將會轉為一個三角積分的問題。

這裡我寫常見的m=3和m=2的情況。

如果m=2，那麼

$\int \frac{px^2+qx+r}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x(a \ne 0)$

這個直接進行三角換元做。

如果m=3，那麼

$\int \frac{px^3+qx^2+rx+s}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x(a \ne 0)$

這個也可以轉為三角換元做。但是如果b=0，那麼可以轉為

$\int \frac{px^3}{\sqrt{ax^2+c}} \mathrm d x+\int \frac{qx^2+rx+s}{\sqrt{ax^2+c}} \mathrm d x$

，前者轉為

$\frac{p}{2a^2}\int \frac{ax^2 }{\sqrt{ax^2+c}} \mathrm d ax^2$

，令

，那麼轉為求

$\begin{align*} & \quad \frac{p}{2a^2}\int \frac{t+c-c}{\sqrt{t+c}} \mathrm d t \\ & =\frac{p}{2a^2}\int {\sqrt{t+c}} \mathrm d (t+c)-\frac{p}{2a^2}\int \frac{c} {\sqrt{t+c}} \mathrm d (t+c)\\ & = \frac{p}{3a^2}(t+c)^{\frac{3}{2}}-\frac{pc}{a^2}(t+c)^{\frac{1}{2}}\\ & = \frac{p}{3a^2}(ax^2+c)^{\frac{3}{2}}-\frac{pc}{a^2}(ax^2+c)^{\frac{1}{2}}\\ \end{align*} \\$

而後者則用三角換元做。

你可能會說為什麼不直接用三角換元做？我其實也喜歡用三角換元做，只是說當題目只出現

$\int \frac{px^3}{\sqrt{ax^2+c}} \mathrm d x$

式，不要忘了整體代換同樣是可以處理這些問題的。

e。g基礎全篇P52 例6（1）

e。g 1800 P27 14（2）

這道題就是用的整體代換，用三角也是可以的。

令

$x = \sin t \quad t \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

$\begin{align*} & \quad \int \frac{\sin ^3t}{ \cos t} \cos t \mathrm d t\\ & = \int \cos ^2t -1\mathrm d \cos t\\ & = \frac{\cos^3t}{3}-\cos t+C\\ \end{align*} \\$