「已登出」2018-07-01 14:19:32謝邀，你提問的是“一階算術系統”，這在以前真的解決不了，但如今是解決了的。
在以前，人們是依據經驗對它直接進行定義的，比如一袋大米和另一袋大米就是兩袋大米，一個蘋果再加一個蘋果就是跟倆蘋果放一起一樣重。
但在在當今是完美解決了的，解決方法叫做“皮亞諾公理”，後來又根據集合論的發展重新進行了定義。
這種定義知識直接貼上百度百科吧，系統學習需要去關注集合論和數理邏輯，有興趣歡迎加入數學生行列。
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
Ⅰ 0是自然數；
Ⅱ 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a‘ ，a’也是自然數（數a的後繼數a‘就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1’=2，2‘=3等等。）
可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0， 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然數的後繼數；
但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0， 1， 2， 3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。
Ⅳ如果b、c的後繼數都是自然數a，那麼b = c；
最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0。3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。
Ⅴ 設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n’∈S。則S是全體自然數的集合，即S=N。（這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性）
注：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“n=0或n為其它數的後繼數”，那麼滿足歸納公設的條件。若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。
Wunn2018-07-06 13:26:37我覺得1+1=2是數量上的變化，1+1=其他的就涉及到性質的變化了。比如兩袋蘋果，每袋50個，一袋蘋果＋一袋蘋果=兩袋蘋果，但是你也可以說一袋蘋果＋一袋蘋果=100個蘋果。前者只涉及數量，後者還涉及性質變化——從整體變為個體。當然，上述觀點是建立在數字的常規設定的基礎上。如果你規定蘋果A+蘋果B就號稱是100個蘋果，那也無話可說。
楊學志2021-01-31 09:27:48標準答案在這裡 ：依照休謨的認識論，1＋1＝2的根據是什麼？ - 楊學志的回答 - 知乎
https：//www。
zhihu。com/question/4397
99671/answer/1683924196
匿名使用者2021-02-18 17:50:492個相同的鐵球 跟 100個和那2個鐵球一樣的鐵球熔鑄成的大鐵球 會一樣重嗎？（狗頭）
啥時候一樣重了，1+1=100沒毛病。（狗頭）
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
下面是我引用的我在別人問題下的回答：
這個問題我從三個方面來回答：
我的最終回答是：
因為我們本來就把「一個量本身」抽象表示為1，把「一個量和另一個相同的量疊加後形成的整體」抽象表示為2，把疊加這個過程抽象為運算“+”，故1+1=2。而3表示「一個量和另一個相同的量疊加後，再和一個相同的量疊加所形成的整體」，與「一個量和另一個相同的量疊加的結果」不同，故1+1≠3。
即：
「■」⊕「■」↔「■■」
「■」→1
「■■」→2
⊕→+
↔→=
∴1+1=2
形象一點的回答：
往空的手上放一個鐵球●，再放一個相同的鐵球●，舉起來，跟把兩個鐵球綁在一起（●●），放在手上舉起來，費的力氣是一樣大的，故●加上●與（●●）等效，●+●=（●●）。但如果把三個鐵球綁在一起（●●●），放在手上，舉起來，費的力氣比之前的大，故●加上●與（●●●）不等效。所以1+1=2，1+1≠3
然後是皮亞諾算術公理的簡述：
每個非負整數h都有其後繼數h‘，且非負整數加法的兩條公理為：0+m=m，m’+n=（m+n）‘。0的後繼為1，1的後繼為2，故：
1+1=0’+1=（0+1）‘=1’=2
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
首先我要明確一點，我這裡不討論“命名”的問題。你既可以把「■■」的數量命名為2，也可以命名為3，如果把「■」的數量定名為1，把「■■」的數量定名3，1+1=3當然是成立的，然而這並沒有改變它的邏輯實質。換句話說，商品沒變，只是換了個標籤罷了。
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
從很早開始，人們意識到各種各樣的東西有著“量”的不同，可以是長度、體積、質量，也可以是“力氣”、“壓感”，當然還有最基本的數量。
往空的手上放一個鐵球，把它舉到頭頂，你會感覺到舉的過程中會費力氣。再放一個同樣的鐵球，進行一樣的動作，你也會感到費力氣，但是費的力氣是不一樣大的。如果再放一個相同的，進行同樣的動作，力氣費得會更大。如此反覆，你會感到費的力氣越來越大，直到最後你都舉不動了。
這時候你就會發現：放置鐵球這個動作重複不同的次數，費的力氣也是不一樣的。在這個過程中，一個最原始的“量”的概念就出現了。往手上不斷放球的過程看上去像是這樣：
●，●|●，●|●|●，●|●|●|●………
（“●”之間的“|”表示先後依次放置）
然後你又會發現，往手上放一個鐵球●，再放一個鐵球●，舉起來，跟把兩個鐵球同時綁在一起（●●），再舉起來，費的力氣是差不多的。
●|●↔（●●）
於是人們意識到，部分的疊加，和某個整體的效果是一樣的。
同樣地，不僅僅是鐵球，銅球、鉛球、木球、玻璃球，凡是稍微有點分量的球，都是這樣的。
所以我們直接用一個抽象的符號○，來表示隨便哪種球。在把球一個個放在手上的過程中，我們好像看到了這樣一個序列：
○，○|○，○|○|○，○|○|○|○………
因為這些球是一個個放在手上的，彼此獨立，所以用符號“|”隔開它們。
又因為把好幾個球一個個放在手上，跟把一些球綁在一起放在手上，舉起來費的力氣是相同的，所以我們看到了這樣的對應關係：
○|○↔（○○）
○|○|○↔（○○○）
○|○|○|○↔（○○○○）
………………
我們又會發現，把一些捆綁在一起的球，跟另一些被捆綁在一起的球，再合著捆起來，跟某些本來就捆在一起的球，舉起來的力氣也是一樣的。
（（○○）（○○））↔（○○○○）
（（○○）（○○○○））↔（○○○○○○）
（（○○○）（○○○））↔（○○○○○○）
這就形成了一些最基本的量的關係。
為了表示方便，我們用一些符號代替表示：
○→1
（○○）→2
（○○○）→3
（○○○○）→4
（○○○○○）→5
……………………
故
○↔1
○|○↔2
○|○|○↔3
○|○|○|○↔4
……………………
再根據整體和部分疊加的關係：
由（○）|（○）↔（○○）
得1|1↔2
由（○）|（○）|（○）↔（○○）|（○）↔（○○○）
得1|1|1↔2|1↔3
以此類推
因為A|B表示先放A，後放B，相當於“A疊加上B”：
1疊加1↔2
1疊加1疊加1↔2疊加1↔3
把疊加改成符號“+”，↔改成“=”就變成了：
1+1=2
1+1+1=2+1=3
於是，在一次次的實踐當中，量被抽象為了數字，量與量的疊加抽象為了加法，而在實踐中得出的部分疊加等於整體的規律，抽象為了A加B等於C。
現實實踐→抽象化→公理化
但是畢竟量與量的疊加有無窮多種，我們不可能一一列舉，所以我們打算確定幾條基本規則，使得這些規則能串聯每一個算式，將每個算式都能在這個基礎之上推匯出來，這也就是皮亞諾算術公理的作用。
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
總結：
從某種角度來說，說1+1=2是“人為規定”也沒錯，因為我們恰好用2表示一個量和另一個相同量疊加的結果，自然2也就等於1加上1。但是要記住，“規定”也不是亂“規定”的，它都是有其現實意義對應的，否則我們也不可能在生活中頻繁地用到這些“規定”。
什麼時候往空的手上放一個鐵球●，再放一個相同的鐵球●，舉起來，跟把兩個鐵球綁在一起（●●），再放在手上舉起來，費的力氣不一樣大了。但如果把三個鐵球綁在一起（●●●），放在手上，舉起來，費的力氣反而跟之前一樣大了，那麼●加上●等效於（●●●）就成立了，自然1+1=3也成立了。
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
關於皮亞諾算術公理，參考我之前的回答：
ReIm：哪位大佬會1+1=2的證明？
無名小卒2021-02-18 18:32:05數學，還是其他自然科學，都是人們將自然現象用人類自己的話講出來而已，沒啥意義，你說100的意思是2，那它就等於100
