為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?楊宇翔2014-09-22 23:21:06

看一下使用洛必達法則的流程：

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?

在分子和分母的極限都是確定值的情況下，可以直接得到極限的值。如圖中紅色箭頭所示，在沒有判定

\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}

是否為未定式的情況下就對分子、分母進行求導是錯誤的。

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?liumeng2020-07-23 10:50:06

說到洛必達法則，就應該想到

極限的定義和柯西中值定理

請問如何理解極限的精確定義？

柯西中值定理基本的意思就是：

如何對引數方程

\left\{ X = f(x) ,Y = F(x) \right\}

的

\left( a,b \right)

區間

，應用中值定理（用區間中的導數值來代替區間的斜率）。

回到問題，如果分子分母的極限是確定值，這代表什麼？

即

\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}=A

，又由於

f(x )

可導，所以連續，所以

f(a) = A

而在洛必達的證明過程中，我們主要用了柯西中值定理，即

\lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x) - f(a)}{F(x) - F(a)} }=\lim_{a \rightarrow b}{ \frac{f^{

以上等式的中間，是它的核心（柯西中值） ，但你有沒有發現，這和我們使用的洛必達不太一樣，

即分子分母都多了一項（

f(a)和F(a)

），因為多了這一項，我們在實際求極限時，就無法應用洛必達，因為這個條件太特殊了。

所以，證明過程中，作者說了這句話

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?

按照極限的定義，確實

\frac{f(x)}{F(x)}

當

x\rightarrow a

的極限和

f(a)和F(a)

的值沒有任何關係（參見文章開頭的連結），但是從

\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{F(x)}}

變化到

\lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x) - f(a)}{F(x) - F(a)} }

是需要條件的。這個條件如同截圖中所說，就是：

f(a)=F(a)=0

仔細看看，這是什麼？這不就是

\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{F(x)}} = \lim_{x \rightarrow a}{\frac{0}{0}}

嘛！

而現在，問題中要求分子分母的極限是確定值，而且這個確定值肯定不是0，而是

f(a) = A

，

那麼按照極限的四則運演算法則，不就是說從

\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{F(x)}}

變化到

\lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x) - f(a)}{F(x) - F(a)} }

是行不通的了，即

\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{F(x)}}

\ne

\lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x) - f(a)}{F(x) - F(a)} }

，也就是說洛必達不成立了。

這就是我們為什麼要針對

\lim_{x \rightarrow a}{\frac{0}{0}}

型極限運用洛必達法則。

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?水上的菠蘿2020-07-23 17:03:58

書上當然有 嚴格證明啦。

但是咱給你搞一個比較簡單，不太嚴格，但是非常符合

直覺的

理解。

極限一般是這樣的：

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}

洛必達一下是這樣的：

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f

如果是不定式，說明

f(0)=0,g(0)=0

於是有

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}}=

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f

你看，只有

f(0)=0,g(x)=0

時，才能有

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}}

如果不為零你就得寫成別的，例如假設等於1，即

f(0)=1,g(x)=1

，然後變換一下：

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)+1}{g(x)-g(0)+1}}

這個就不好轉為求導數了，主要是分母搞不定。

所以，只有是不定式的時候，才能在上下同時補充一項

f(0)

和

g(0)

，從而可以讓他變成

上下同時求導數的形式

。

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?皮內斯2020-07-24 02:45:48

我覺得洛必達法則就是把分子分母都寫成泰勒級數然後給約分了。如果不趨近於零，那就有非零常數項，沒法約分

為什麼洛必達法則只能用在不定式 而分子和分母的極限都是確定值的情況下不能用（不成立）?朱元2020-07-24 11:36:03

0階不是無窮小（你說的極限可以看成0階導數），1階或更高階無窮小的係數當然就沒意義啦。

忽略主要矛盾去關注次要矛盾的做法在我們生活中比比皆是。