前言
這篇文章的初衷是受到了傅渥成的書籍《臨界：智慧的設計原則》啟發，對分形、自相似、自組織臨界這些概念的普遍性有了探索的興趣。文章一部分內容參考了這本書（文中註明），也有相關文獻和wiki的幫助。
分形與自相似
分形（Fractal）概念最早由Benoit B。 Mandelbrot於1967年提出。他當時在Science上發表了題為《How Long Is the Coast of Britain？ Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension》的論文，用海岸線這種極度蜿蜒複雜的曲線來說明，當我們在不同高度（衛星高度，飛機高度，人的身高高度）拍攝海岸線這類曲線時，海岸線會呈現出某種相似的特徵，這種在
某些尺度變化範圍內
呈現出的相似性質稱為
標度不變性/尺度無關性(
scale invariance），而區域性與整體以某種方式相似的形體稱為
分形
（Fractal）。如果這種相似性在
所有尺度上都成立
，這個性質就被稱作
自相似
（self-similarity）。換個角度說，如果測量尺的刻度越精細，就能測量到更微小的曲線細節，也就讓測量出來的海岸線長度越大。在理想的分形結構中，這個曲線的長度將會隨著測量的精細化而發散到無窮大。標度不變性其實是某種對稱性的體現（通常被稱作expanding symmetry）。
NASA拍攝的海岸線具有分形結構。圖片來源：http：//users。math。yale。edu/public_html/People/frame/Fractals/Panorama/Nature/Coastlines/JaggedCoast。gif
以下是Matrix67用 Mathematica 製作的幾個分形圖形的動畫演示，形象的展示了幾種常見的2維分形結構（如果圖片中的迭代能夠無限繼續下去，將會得到上述的自相似性質）：
Koch curve
Dragon fractal
Sierpinski triangle
Pythagoras tree
還有3維的分形結構，如Menger sponge：
Menger sponge的前幾步演化過程。圖片來源：https：//en。wikipedia。org/wiki/Menger_sponge#/media/File：Menger_sponge_（Level_0-3）。jpg
上述分形結構僅僅依賴簡單的數學規則運算，而對於複雜的生物體，也有分形結構出現：
真實的玫瑰花照片
用Tiera-Zon程式生成的圖案
肺部氣管和血管構成的分形結構
（*關於為何分形結構在自然界普遍存在，將是另一個深刻的話題，感興趣可以看下知乎上的科普性回答
https：//www。
zhihu。com/question/1971
0511
）
跨出理解“自相似“的一小步
元胞自動機模型（cellular automaton）可以作為理解分形與自相似的一把鑰匙。儘管這個模型的框架很簡單，透過調整元胞相互作用的形式，它也能表現出自相似結構。我們只討論元胞自動機模型裡一個簡單的例子，沙堆模型（Sandpile model）。
Bak、Tang和Wiesenfeid （Bak， P。， Tang， C。， & Wiesenfeld， K。 （1987）。 Self-organized criticality： An explanation of the 1/f noise。 Physical Review Letters， 59（4）， 381） 用元胞自動機對沙堆的行為進行了模擬（以下虛擬碼摘自傅渥成的書籍《臨界：智慧的設計原則》）：
1。 在一個二維正方格子上，每個格點上都可以放上一定的沙子；
2。 當某個格子 （i，j） 裡的沙子數目大於 4 時，就會發生崩塌（或者也可以設定為按照一定的機率崩塌）；
3。 格子 （i，j） 裡面的 4 顆沙子則轉移到 （i，j-1），（i，j+1），（i-1，j），（i+1，j） 四個格子中；
4。 隨著這四個格子中沙粒數目的變化，上述的演化規則可以進一步逐層擴充套件到其它相鄰的格點，最終蔓延整個沙堆。
從直覺上說，如果一個沙堆的坡度太大，它是遠離平衡態的。因此當某個地方沙子增多時，坡度將會變大，從而導致沙堆不穩定，於是出現沙子向四周崩塌的現象。上述模擬過程符合這個直覺。
讓我們來看看這會發生什麼事情。首先看一個小系統（5*5）的示意圖，注意如果粒子崩塌超出了邊界，我們就人為讓這個超出邊界的粒子消失（否則總粒子數就會不斷增多，而且邊界上會不斷積聚粒子）。
小型的沙堆模型。圖片來源：http：//www。if。pw。edu。pl/~agatka/catalogue/soc。html
我們把系統做的大一點，並假設每次沙子都是從中央落下，按照規則更新格點上的粒子數，等到所有格點不再更新，再在中央放新的粒子，不斷進行下去：
沙堆模型的演示。每個格點上的顏色代表沙子的個數，顏色越偏紅表示沙子數量越多。影片來源：https：//www。youtube。com/watch？v=-d7_OGn22d4
更大的沙堆系統形成的模式，注意到明顯的自相似結構。圖片來源：http：//www。rockini。name/math/g00。html
細心的你或許能發現，隨著沙子的不斷下落，整個沙堆會不斷變大，但是某種程度上仍舊保持初始形態等比例增長，這與生物的生長非常類似：各個器官隨著身體的長大而變大，與身體的比例基本保持不變。我們也可以加入非各向同性或非線性的因素來模擬真實的生物生長規律，這被稱作“異速生長律”（Allometry）。當然，模型畢竟是模型，很難真正模擬真實的生物體，但是這個模型的意義在於揭示了某種“可計算性“。
沙堆模型中，崩塌尺度大小及其發生頻率的分佈。橫軸和縱軸均為對數座標，說明兩者存在冪律關係，這裡的冪指數與格點系統的拓撲性質有關。注意到在三種不同的系統尺寸中，雪崩的冪律關係都是一樣的，與系統尺度無關，這是臨界點的一個特徵。
我們統計上述模擬中崩塌尺度的大小和它發生的頻率會發現，兩者服從冪律關係。這個關係表示的是沙堆對於
區域性
微擾或噪聲（每次在中央新增一粒沙子）的響應，它的背後有著更加普適的規律，可以用1/f noise來描述，我們後面會講。這裡可以說的是，
冪律的一大特徵就是標度不變性
。如果x和f（x）有冪律關係
，那麼將自變數x擴大一個倍數，就有
也就是說f（x）的形狀不變，只是大小變化了一個倍數而已（有沒有聯想到前面提到的自相似性質？）。
自組織臨界與冪律
沙堆模型是第一個具有
自組織臨界行為(self-organized criticality, SOC)
的模型。
什麼叫“自組織“呢？
與一般的臨界行為需要依賴外部引數調節不同，它不需要調整外部引數就能依靠自身的動力學演化到臨界點附近。一般能產生臨界現象的系統比如Ising模型，需要調節溫度T和外磁場H才能讓系統到達臨界點。如果用重整化群（Renormalization Group）的語言描述，我們感興趣的是處於臨界點的系統在引數空間中T和H這兩個方向上的行為，如果一開始選取的引數T和H讓系統遠離這個臨界點，那麼對系統做微擾並不會產生臨界行為。但是，沙堆模型完全不一樣。不需要控制外部引數，沙堆模型會自發地向著臨界點演化，
在臨界點處就能呈現出上述冪律關係和標度不變性
，這個臨界點是個吸引子（attractor），系統從任意位置出發總能到達臨界點，而且這個過程對系統的引數並不敏感，具有非常強的魯棒性。綜上，它被稱作“自組織“臨界行為。
自組織臨界行為可以解釋十分普遍的兩種現象：時間域上的1/f noise規律；空間域上的標度不變性和自相似性質。
時間域上的1/f noise規律指噪聲的功率譜密度S與頻率f的冪律關係（在低頻域成立）：
（當α=1時叫做Pink noise）。這個冪律關係表徵了不同時間尺度之間的關聯。1/f noise一個有趣的例子是Voss and Clarke做的關於音樂和語音的研究（Voss， R。 F。， & Clarke， J。 （1975）。 1/f noise in music and speech。
Nature
，
258
（5533）， 317-318。），他們指出人類音樂和語音中，音高和響度的漲落就是1/f noise。如果頻率和相鄰音符時間間隔的漲落服從1/f noise就比較好聽，而白噪聲（隨機遊走）產生的音樂聽起來太沒規律了，1/f^2的音樂聽起來則過於連貫了。1/f的音樂聽起來剛剛好，這也說明如果想新增時間關聯，1/f噪聲可能是個更好的選擇。
訊號大小隨時間的漲落，這個訊號可以表示音高或響度。從上至下：white noise，1/f noise， 1/f^2 noise。圖片來源：Voss， R。 F。， & Clarke， J。 （1975）
展現空間標度不變性的例子是，湍流能量E（k）與湍流尺寸1/k的冪律關係。在兩種不同流體沿著交介面有不同切向速度時（不考慮表面張力因素），流體邊介面將會失穩（Kelvin–Helmholtz instability），從而產生湍流。
Kelvin–Helmholtz instability的模擬，上下兩種流體具有不同的密度和水平流速。可以看出這種湍流結構似乎具有某種自相似性質。圖片來源：https：//en。wikipedia。org/wiki/Kelvin%E2%80%93Helmholtz_instability
Kolmogorov假定下的湍流能量傳遞（energy cascade），更高的波數k代表更小的湍流尺寸。圖片來源：Aakash30jan - Own work， CC BY-SA 4。0， https：//commons。wikimedia。org/w/index。php？curid=64829708
Kolmogorov假定在某個湍流尺度範圍內（inertial subrange），高雷諾數流體的湍流能量會像多米諾骨牌一樣，以均勻的速率沒有耗散地從大尺度傳遞到更小的尺度（energy cascade），直到到了足夠小的尺度（Kolmogorov microscale），粘性耗散效應才顯現，把流體動能完全轉換成為流體內能。這個規律已被許多實驗所證實（如Pope， S。B。 （2000）。
Turbulent Flows
）。需要指出這裡的斜率（冪指數）為-3/5。Kolmogorov的理論隱含了湍流具有的某種自相似性質的假設，但實際上這個自相似性質只在某些條件下才近似成立（湍流結構函式是低階的情況，詳見
https：//
en。wikipedia。org/wiki/T
urbulence#cite_note-21
）。我們暫且不管湍流的自相似性質是否嚴格成立，這裡舉湍流的例子只是想從另一方面說明，冪律關係與臨界行為中擾動和噪聲的傳遞、標度不變性有十分緊密的聯絡。
除了上面兩個例子外，依據自組織臨界行為建立的模型還可以用來描述地震（Gutenberg-Richter定律）、股票市場甚至社會學所呈現的奇特行為，這裡就不贅述了，具體例子可查閱《臨界：智慧的設計原則》。
前面提到過的Ising模型，在相變臨界點也具有標度不變性，這和沙堆模型的自組織臨界行為相同；不同的是，沙堆模型不需要改變引數，只需要制定簡單規則，系統就能自發到達臨界點。另外需要強調的是，沙堆系統並不是封閉系統，而是一個耗散系統，它與外界有物質、能量、資訊的交換（在中央扔進沙子，拿掉跑出邊界的沙子），而且沙堆始終會演化到臨界點附近，具體一點來說，沙堆始終會努力保持不會發生雪崩的那個最大傾斜角，這個最大傾斜角就是沙堆系統的臨界點。
有了自組織臨界的自相似結構，我們就能將不同的自組織過程按照冪指數進行分類。
無論我們怎麼放大或縮小同一類處於臨界態的系統，總能找到某種不依賴空間尺度的表徵，這種表徵就是冪指數，他們是自組織臨界過程自發湧現出來的性質。我們熟悉的Ising模型在相變時也具有空間尺度不變性，因此也可以透過臨界指數將相變分成不同的普適類（universality class）。
寫這篇隨筆的時候看到了傅渥成在《臨界：智慧的設計原則》中舉的經濟學上的冪律例子——帕累託分佈（Pareto distribution），覺得蠻有意思，在這裡轉述一下。帕累託分佈是個冪律分佈，用來描述收入分配中出現的“80/20 法則”，即一個社會中80% 的財富集中在這個社會 20% 的高收入人群中。而如果用“放大鏡“放大這個分佈的尾巴，即把20% 的富人單獨拿出來重新統計，同樣會得到這些富人內部的“80/20 法則”，這就是冪律關係中的尺度不變性。至於為什麼社會許多領域會出現冪律分佈，也許和社會所處的臨界狀態有關。馬太效應告訴我們，財富本身具有集聚效應：富人有更多的資源用來投資理財，從而獲得更多的財富。同樣的冪律分佈暗示，與前面沙堆模型中的雪崩效應一樣，某些富人的財富在一定時期內可以出現爆發性增長。同理，在研究某些科技產品在釋出後遭到人們哄搶的行為，某明星微博在緋聞事件爆出後的突然加大的訪問量，或許都可以考慮時間間隔的冪律統計規律。另外，這種冪律分佈不僅是時間上的，也可以是強度上的。傅渥成提到人類的這種“爆發性行為”不但有“高頻率”，還有“高強度”的特徵，比如人們會在所沉迷的事情上短時間內高頻率地花費大量時間和金錢。同樣地，在沙堆模型中，不僅雪崩尺寸（即微擾噪聲傳遞的平均距離）有冪律關係（尺度不變性），雪崩團塊的壽命（即微擾噪聲傳遞的平均時長）也滿足冪律關係（1/f noise）。
總結一下重點：
冪律的一大特徵是標度不變性。
沙堆模型中雪崩的冪律關係與系統尺度無關，這是自組織臨界點的一個重要特徵。
自組織臨界行為可以解釋時間域上的1/f noise規律和空間域上的自相似性質。
可以按照冪指數對自組織臨界過程進行分類。
後記
生物群體（魚群、鳥群）的叢集運動體現了生物進化過程中的集體智慧，這種集體智慧的運轉似乎也處於一種臨界狀態：如果所有成員一致朝著一個方向運動，那麼整個群體將無法有效躲避捕食者的追捕；如果都是隨機遊走，那麼隊伍過於鬆散，資訊得不到有效傳遞，適應環境變化能力就會變差。因此我們看到的生物叢集似乎是處於某種臨界態，成員相互之間具有長程關聯。本文討論的自組織臨界似乎可以幫助理解生物叢集運動所蘊含的智慧。
【參考資料】
1。 傅渥成《臨界：智慧的設計原則》
2。 Bak， Per， Chao Tang， and Kurt Wiesenfeld。 “Self-organized criticality： An explanation of the 1/f noise。”
Physical review letters
59。4 （1987）： 381。
3。 Bak， Per， Chao Tang， and Kurt Wiesenfeld。 “Self-organized criticality。”
Physical review A
38。1 （1988）： 364。
