單調函式取值對稱軸零點

三角函式w的取值範圍的求解（動態週期問題）

由 kxb 發表于娛樂2021-04-29

型別一：已知零點個數求

$\omega$

的取值範圍

例1：（2021鄂爾多斯一模，11）設函式

$f(x)=sin(\omega x-\pi/3)(\omega>0)$

，已知

在

$[0,2\pi]$

有且只有3個零點，則

$\omega$

的取值範圍是？

這本來是一道選擇題，我給改成解答題了，這種型別的題有一個通法如下：

根據

$\varphi$

的取值畫出簡圖（我回頭補），可以知道

是，

在第一個區間單調遞增。

令

$f(x)=sin(\omega x-\pi/3)=0$

求出零點如下：

$\omega x-\pi/3=k\pi$

所以有：

$x=(\pi/3+k\pi)/\omega,k\in Z$

軸右側第一個點橫座標為令

$x=\pi /3\omega$

週期

$T=2\pi /\omega$

所以第三個零點

$x=\pi/3\omega+2\pi/\omega$

第四個零點

$x=\pi/3\omega+2\pi/\omega+2\pi/2\omega$

（第三個零點再加半個週期）

$2\pi$

必須在第三第四個零點之間，且不能等於第四個零點

所以有

$x=\pi/3\omega+2\pi/\omega\leq2\pi<x=\pi/3\omega+2\pi/\omega+2\pi/2\omega$

解得

$6/7\leq\omega <5/3$

。

說明：本題的關鍵在與畫出簡圖根據第三第四個零點的表示式卡

$2\pi$

，得出答案。

［成功體驗］（同類題，你自己試試）

設函式

$f(x)=sin(\omega x+\pi/3)(\omega>0)$

，已知

在

$[0,2\pi]$

有且僅有5個零點，則

$\omega$

的取值範圍是？

【答案】

型別二：函式在區間內單調遞增/遞減（最常考的一種型別，很重要！難度不大，一定要學會！）

［2012全國卷，9］已知

$\omega>0$

，函式

$f(x)=sin(\omega x+\pi/4)$

在

$(\pi/2,\pi)$

內單調遞減，則

$\omega$

的取值範圍是？

由定義域

$x\in(\pi/2,\pi)$

將

帶入

$f(x)=sin(\omega x+\pi/4)$

可得

$\pi\omega+\pi/4\in(\pi\omega/2+\pi/4,\pi\omega +\pi/4)$

此時，不妨設

$\omega x+\pi/4=t$

那麼

函式的性質我們非常清楚

的單調遞減區間為

$（\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi）,k\in Z$

故

$(\pi\omega/2+\pi/4,\pi\omega +\pi/4)\subseteq((\pi/2)+2k\pi ,(3\pi/2)+2k\pi),k\in Z$

則

$\omega\geq(1/2)+4k,k\in Z$

$\omega\leq5/4+2k,k\in Z$

所以是不是有

$5/4+2k\geq1/2+4k,k\in Z$

$k\leq3/8,k\in Z$

由定義域

$(\pi/2,\pi)$

單調遞減

有

$\pi/2\leq2\pi/\omega/2$

解得

$\omega\leq2$

，題目中要求

$\omega>0$

所以

所以

$1/2\leq\omega \leq5/4$

說明：本題的關鍵在於代入關於

定義域來搞出

的定義域，有

後利用基本函式性質求解，還有就是

取值的確定，很多答案一般都直接寫出而不寫原因，作者已寫地非常詳細，

的取值關鍵還在於利用定義域來卡週期的範圍，透過

$\omega$

間接求出

的取值。

【成功體驗】

1。已知

$\omega>0$

，函式

$f(x)=sin(\omega x+\pi/3)$

在

$(\pi/2,\pi)$

上單調遞減，則

$\omega$

的取值範圍是？

2。

，函式

$f(x)=2sin\omega x$

在

$[-\pi/3,\pi/4]$

上是增函式，則

$\omega$

的取值範圍是？

3。

$\omega>0$

，函式

$f(x)=2sin\omega x$

在

$[-\pi/4,2\pi/3]$

上單調遞增，則

$\omega$

的取值範圍是？

4。將函式

的影象向右平移

$\pi/6$

個單位長度，再將所得影象上的橫座標變為原來的

$1/\omega(\omega>0)$

倍（縱座標不變），得到函式

的影象，若函式

在區間

$(\pi/6,\pi/3)$

上是增函式，則

$\omega$

的取值範圍是？

5。已知

$f(x)=sin\omega x+\sqrt{3}cosx$

在區間

$[\pi/6,\pi/4]$

上單調遞增，則

$\omega$

的取值範圍是？

［答案］

1。

2。

3。

4。

5。

$(0,2/3]\cup[7,26/3]$

型別三：函式在定義域內單調：

例1：［安徽池州2020質檢］已知函式

$f(x)=sin(\omega x+\varphi)(\omega>0)$

滿足

$f(\pi/4)=1$

，

$f(\pi/2)=0$

，且

在區間

$(\pi/4,\pi/3)$

上單調，則

$\omega$

的取值有幾個？

這種題有通法，那就是試！尤其是這種題選擇愛考，一個一個無腦帶就完了，也可以卡範圍排除幾個再帶，有些題確實只能代，比如2016全國卷的壓軸題，這種題型三種解法三種題我都會一一講解，但是例題我翻了幾本練習冊實在找不到了，你們如果又發現的也可以告訴我，謝謝，廢話不多說，第一題開始講解！

題目中給出的條件

$f(\pi/4)=1$

，

$f(\pi/2)=0$

，毫無疑問就是給了最大值的對稱軸和一個對稱中心，

由正弦函式的基本性質，可以有：

$\pi/2-\pi/4=(kT/2)+T/4,k\in Z$

化簡：

$T=\pi/2k+1=2\pi/\omega,k\in Z$

再化

$\omega=4k+2,k\in Z$

在

$(\pi/4,\pi/3)$

單調

可以有

$\pi/3-\pi/4\leq 2\pi/\omega/2$

解得

$0<\omega\leq12$

所以

$\omega=2,6,10$

取值有3個。

說明：這道題完全不需要試，想試當然也可以，本題關鍵在於用兩個給出座標的點寫出

$\omega$

的表示式，再透過單調區間來取

$\omega$

的範圍。

例2：［2016，新課標全國一，12］已知函式

$f(x)=sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,\left| \varphi \right|\leq\pi/2)$

，

$x=-\pi/4$

為

的零點，

$x=\pi/4$

為

影象的對稱軸，且

在

$(\pi/18,5\pi/36)$

單調，

則

$\omega$

的最大值為

。

A。11 B。9 C。7 D。5

這個題就是我說的必須要試了

根據題目中給出的對稱軸和對稱中心和正弦函式的基本性質：

也可以按上一題的解法來，這裡我再給一種解法（通用）

可得

$(-\pi\omega/4)+\varphi=k_{1}\pi$

$(\pi\omega/4)+\varphi=k_{2}\pi+\pi/2$

上下作差（一個重要的做法）可得

$\omega=2k+1，k\in Z$

根據單調區間可以卡

$\omega$

的範圍：

$5\pi/36-\pi/18=\pi/12\leq T/2$

解得

$\omega\leq12$

完蛋了！我已經束手無策了！居然一個選項都沒排除出來，看樣子這題作為2016壓軸題名不虛傳，那麼接下來從大往小一個一個試吧！

$\omega=11$

時，

$\varphi=-1/4$

，此時存在一個對稱軸：

$x=3\pi/44$

，不滿足在

$(\pi/18,5\pi/36)$

單調。

$\omega=9，\varphi=\pi/4$

發現

$(\pi/18,5\pi/36)$

內不存在對稱軸，那麼就是它了，選B。

說明

：這題卡出範圍四個選項都在範圍之內那麼就只能一個一個試了，在考場上千萬不要懷疑自己，覺得範圍卡全了就試吧，建議這種題最後死馬當活馬醫的題做，仍然可以5分到手！

例3：已知函式

$y=sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,\varphi\in(0,2\pi))$

的影象的一條對稱軸為直線

$x=-\pi/6$

，且

在區間

$(\pi,4\pi/3)$

上單調，則

$\omega$

的最大值為？

我發現網上有答案去算

$\varphi$

的表示式了，我感覺（認為）完全沒有必要，做題沒啥關係，為啥要浪費陽壽呢？

這個題又是另一種做法：讓相鄰兩個對稱軸都不在範圍內

寫出相鄰兩個對稱軸的表示式：

$x_{1}=k\pi/\omega-\pi/6$

$x_{2}=(k+1)\pi/\omega-\pi/6\$

根據上面的思想

可得

$x_{1}\leq\pi，x_{2}\geq4\pi/3$

解得

$6k/7\leq\omega\leq2/3(k+1),k\in Z$

又因為

$\omega>0$

可得

聯絡不等式本身的性質：

$6k/7\leq2/3(k+1)$

解得

$0<k\leq7/2,k\in Z$

所以

，

時

$\omega$

最大為

。

說明：本題關鍵就在於讓相鄰兩個對稱軸都不在範圍內，剩下的都比較簡單。

型別四：函式在區間內不單調

例1：已知函式

$f(x)=sin\omega x$

（

$\omega$

為正整數）在區間

$(-\pi/6,\pi/12)$

上不單調，則

$\omega$

的最小值為？

這種不單調的就可以讓對稱軸夾在中間，當然也

可以求出單調，然後取補集。

單調也一樣，同樣可

以求出不單調然後求補集

求解

這道題只需要左邊或右邊存在一個軸即可

可得：

$-\pi\omega/6<-\pi/2$

或

$\pi\omega/12>\pi/2$

滿足其一便可

解得

$\omega>3$

∴

$\omega$

的最大值是4

例2：［安徽馬鞍山2020質量檢測］已知函式

$f(x)=2sin(\omega x+\varphi)(\omega>0)$

的影象經過點

$(\pi/2,2)$

和

$(\pi,0)$

，且

在

$(0,\pi/4)$

上不單調，則

$\omega$

的最小值為？

A。1 B。3 C。5 D。7

這題乍一看特熟悉，帶入檢驗唄，確實這道題確實需要帶入檢驗。

常規操作，給點就帶（對稱軸也一樣）

$2sin(\pi\omega/2+\varphi)=2$

$2sin(\pi\omega+\varphi)=0$

根據正弦函式的對稱軸方程和零點座標可得：

$\pi\omega/2+\varphi=2k_{1}\pi+\pi/2$

$\pi\omega+\varphi=k_{2}\pi$

$k\in Z$

作差消去

$\varphi$

可得：

$\pi\omega/2=(k_{2}-2k_{1})\pi-\pi/2$

令

$k_{2}-2k_{1}=n,n\in Z$

本題未完，4月30日晚上回來繼續解答，敬請諒解。

說明：

這道題和16年的題思想是很想似的都是要麼從大到小帶，要麼從小到大代

其他型別最近幾天更新，未完待續。。。

感興趣或不會的可以點下關注和收藏，留下一個免費的贊也可以，作者為某重點高中重點班高一學生，抽出時間不易，謝謝大家！

預告，本專題寫完作者將會總結球的內切與外接問題，請持續關注。。。

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