對應長度有普朗克長度，有普朗克角度嗎？

趙泠2021-06-05 20:37:57

在物理學中，已經存在稱為“普朗克角度”的概念。這是對最小可辨別角的假設限制：自由光子的不同世界線之間的最小角度。

$\varphi_{P}\sim\frac{l_{P}}{r_{e}}\sim5.73\times10^{-21}$

在地球上觀測“發生位置距離我們非常遙遠的天文現象”（例如伽馬射線暴）時，儀器接收到的光子可能受此限制

［1］

。這個概念目前沒什麼用，也不是對時空的實際限制。

1994 年的論文裡就有的東西在這個問題下於 2014 年被答非所問，這件事教育我們“你幻想的那個老知乎沒有你幻想的那麼好”。

知乎使用者2021-06-06 18:44:52

@趙泠提到的普朗克角度，我以前才疏學淺，沒有聽過，所以我特意查了查。谷歌指向的第一個網頁是handwiki：

Planck angle - HandWiki

為了照顧無法科學上網的同志，我截個圖。

可以看出，是一個東西。但在這個頁面的最上面handwiki給出了一個提醒：

大意是有人質疑過這個概念在除了原始論文外是否被接受，在那以後並沒有提供證據。我（猜測是管理人員）尋找的這個概念的用法，要不不可靠，要不和本頁面不同，要不兼而有之。所以此頁面在未來可能被刪除。

於是我去找了下頁面裡提到的這篇文章，並不是很難找：

論文我大致掃了一眼，就是直接用Planck尺度和電子的經典半徑做比得到的一個東西。這和我們熟知的Planck單位不一樣，Planck單位制當中用的都是G、k、c、h這些常數，分別代表引力、熱力學、運動學、和量子力學的維度。電子的經典半徑

$l_e=e^2/4\pi\epsilon m_e c^2$

（本質上是將電子想象成一個緻密的均勻帶電球，認為其質量全由靜電能提供），相關參量有兩個：真空介電常數epsilon、以及電子質量。其中電子質量並不像其它常數那麼普適。

事實上，題主文章中問到的Planck角度顯然是有關運動學的一個單位，所以我們肯定無法從和電磁學相關的參量將其推匯出來，更遑論其中還有一個不那麼普適的引數。

所以在我看來1994年ApJ上的這篇論文對回答本題是沒有作用的。

現在還剩下另外一個問題：1994年的這篇論文所闡述的概念是否被廣泛接受。以Planck Angle作為關鍵字，除了上文提到的wikihand一個wiki頁面以外，其餘均是一些問答社群。至少說明了這個概念並不是“網際網路的常識”。然後我去搜索了一些論文庫，但很遺憾由於Planck衛星的原因，Planck Angle這個關鍵字檢索到的內容極其多。利用量子波動速讀大法，翻了幾頁我放棄了。

於是我只剩下最後一招，就是檢索原始論文題目：Cosmic Gamma-Ray Burst Sources： The Phenomenon with the Smallest Angular Size in the Observable Universe，看看有多少人受其啟發。

谷歌學術引用次數是空白：

哈佛的astrophysics data system給的被引也是空的：

web of science給出的結果也是空的：

所以說至少這篇文章闡述的概念暫時沒有啟發多少研究。

那麼，有沒有人提出過Planck角度的概念呢？

Simulating Space and Time

Brian Whitworth Massey University， Albany， Auckland， New Zealand這篇文章裡提到了。其是基於利用Planck長度和時間將時空分割成離散區域，既然如此，那麼某一事件附近的鄰近點數目就是有限的。當然這也是bullshit。因為在我看來：

普朗克尺度附近的物理儘管很有趣，但此處的物理並不存在某種限制。

知乎使用者2021-06-06 22:27:46

我提供一個思路，

$\theta=\frac{普朗克長度}{哈勃半徑}\approx1\times10^{-61}$

換算成角度制大約是

$2\times10^{-55}$

角秒

這是不是普朗克角度我不知道，但如果真有普朗克角度，肯定不能比這個數小

Monsoon2021-06-07 01:16:08

思考這個問題首先要知道普朗克長度，乃至普朗克時間和普朗克質量是怎麼來的。

實際上這些東西都不是憑空產生的，也不是所謂的“量子力學導致時空不連續”然後“可以推匯出這些概念”這種莫名其妙的說法。它們產生的根源是量綱，是現代物理學單位制的基準。現代物理學理論方面的研究都在大量地使用所謂的“自然單位制”，也就是

$G=c=\hbar=1$

，

是引力常數，

是光速，

$\hbar$

是約化普朗克常數。這樣做會讓很多重要的公式變得十分簡潔，下面舉幾個例子

$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu \nu}\,\,\sim \,\,R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=8\pi T_{\mu \nu} \tag{愛因斯坦方程}\\$

$E^2=p^2c^2+m^2c^4\sim E^2=p^2+m^2\tag{質殼關係}\\$

$T=\frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}\sim T=\frac{1}{8\pi Mk_B}\tag{黑洞溫度式}\\$

而且這種化簡也根本不會由於量綱錯亂影響理論推導，因為如有需要，可以根據新增這些自然單位制下被認為是1的常數來平衡量綱。但這麼做的意義遠非重新選擇一種單位制，重新選擇一組單位來衡量物理量這麼簡單，而是把物理學的公式牢牢地栓在

$G、c、\hbar$

這些實驗上測出來的量上。雖然我自己其實並不太認可“物理學是基於實驗的學科”這句話，但在狹義範圍內，任何理論都需要實驗來檢驗，這句話在這個層面上也是對的。

然後我們看看被自然單位制選中的幾個常數，它們自己的量綱表示式是怎樣。這裡採取物理學量綱分析中廣泛使用的CGS制，也就是把質量

，長度

，時間

選為基本量類。

首先是引力的牛頓理論告訴我們

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\$

注意到

$F=ma\rightarrow \left[ F \right] =MLT^{-2}$

，所以

$\left[ G \right] =M^{-2}L^2\left[ F \right] =M^{-1}L^3T^{-2} \\$

然後是量子的能量式

$E=\hbar\omega\\$

注意到角頻

$\left[ \omega \right]=T^{-1}$

以及

$\left[ E \right] =\left[ F \right] L=ML^2T^{-2}$

，所以

$\left[ \hbar \right] =\left[ E \right] T=ML^2T^{-1} \\$

最後，光速是很簡單的

$\left[ c \right] =LT^{-1} \\$

在做完這些工作以後，我們發現，我們完全可以用這些自然單位制中被認為成1的量，構造出一個無量綱量，在規範理論中十分重要的精細結構常數

$\frac{GM^2}{\hbar c}=\alpha \simeq \frac{1}{137}\\$

也可以構造出在自然單位制中大小同樣是1的質量、長度和時間，也就是自然單位制下的單位質量、單位長度和單位時間。下面列出它們，並給出它們在國際單位制下的大小

$\begin{cases} l_p&=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}=1.616\times 10^{-35}\,\,\mathrm{m} \\ t_p&=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^5}}=5.391\times 10^{-44}\,\,\mathrm{s} \\ m_p&=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}=2.176\times 10^{-8}\,\,\mathrm{kg} \end{cases}\\$