外文原址：
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wiseodd。github。io/techb
log/2016/11/20/levelset-segmentation/
Part 2 ：影象分割
上一章我們先感性後理性地認識了LSM，它可以應用在很多方面，如波的模擬、野火模擬、氣體模擬。本章我們將研究水平集方法在計算機視覺中的應用——影象分割。
基於LSM的影象分割
回憶下上一章中推導的曲面演化偏微分方程，式（1）：
ϕ′=ϕ+ΔtF∥∇ϕ∥
式（1）中的F速度函式（力函式）是需要特別關注的地方，需要針對不同的應用設計不同的F函式。直觀理解，F就是推動曲線演變的力。換句話說，我們可以將F理解為速度場，F描述了ϕ曲面上 每一個點的運動速度和方向（結合法向量，方向向量為單位向量，也即用1、-1來指示方向，關鍵還是靠F來推動演化）
當要分割一幅影象時，我們需要 從影象中推匯出函式F。假設我們有一張圖：
圖1
由於F是一個速度場，考慮到需要求解的偏微分方程PDE（1），我們希望F在遠離目標輪廓時變化快，在目標輪廓附近時變化慢。
一種從 影象中推導F的方法是藉助 邊緣檢測。邊緣檢測最簡單 的方式是 取影象的梯度，式（2）：
（這個公式的意思就是梯度越大演化速度越慢，因為此時處於邊界附近；梯度越小演化速度越快，因為此時距離邊界較遠）
Sooooooo，let‘s do it：
Import numpy as np
Import scipy。ndimage
Import scipy。signal
Import matplotlib。pyplot as plt
From skimage import color，io
Def grad（x）：
Return np。array（np。gradient（x）） # 這個結果是2通道的哦
Def norm（x，axis=0）：
Return np。sqrt（np。sum（np。square（x），axis=axis））#橫縱兩個方向的梯度正則化為1個值
Def stopping_fun（x）： #F函式
Return 1。/（1。+norm（grad（x））**2）
img = io。imread（’twoObj。bmp‘）
img = color。rgb2gray（img）
img = img - np。mean（img）
# Smooth the image to reduce noise and separation between noise and edge #becomes clear
img_smooth = scipy。ndimage。filters。gaussian_filter（img， sigma）
F = stopping_fun（img_smooth）
圖2
有了F函式，我們就可以將其直接用於PDE的求解了：
Def default_phi（x）：
Phi=np。ones（x。shape［：2］）
Phi［5：-5，5：-5］=-1。
Return phi
n_iter=1000
Dt=1。
for i in range（n_iter）：
dphi = grad（phi）
dphi_norm = norm（dphi）
dphi_t = F * dphi_norm
phi = phi + dt * dphi_t
多次迭代後，結果如下：
圖3
這是一個非常簡單的水平集分割方法。應用 更加複雜的F函式我們將得到更好 的結果。
測地線活動模型
在Geodesic Active Contour（GAC）模型中，F函式定義如下，式（3）：
式中，第一項為平滑項，它使曲線 沿曲率方向移動；第二項是氣球項，用於控制曲線的演化速度；最後一項是附加項，用於幫助曲線收斂
# 曲率是這麼計算的哦
Def curvature（f）：
fy，fx=grad（f）
Norm=np。sqrt（fx**2+fy**2）
Nx=fx/（Norm+1e-8）
Ny=fy/（Norm+1e-8）
Return div（Nx，Ny）
Def div（fx，fy）：
# 影象的散度對某幅影象連續求2次梯度得到的zx_x和zy_y的和是等於散度的。換句話說div（z） = zx_x +zy_y
Fyy，fyx=grad（fy）
Fxy，fxx=grad（fx）
Return fxx+fyy
Def dot（x，y，axis=0）：
Return np。sum（x*y，axis=axis）
v=1。
Dt=1。
g=stopping_fun（img_smooth）#g=stopping_fun（img_smooth，alpha）
dg=grad（g）
for i in range（n_iter）：
dphi = grad（phi）
dphi_norm = norm（dphi）
kappa = curvature（phi）
smoothing = g * kappa * dphi_norm
balloon = g * dphi_norm * v
attachment = dot（dphi， dg）
dphi_t = smoothing + balloon + attachment
phi = phi + dt * dphi_t
以下為分割結果：
圖4
觀測發現，該分割結果比圖3更好，也即更平滑更貼合目標了
本章，我們實現了一個LSM在影象分割中的案例。我們發現 不同的速度函式F將實現不同的分割結果。
