【學習筆記】完備性基本定理

微積分理論建立在極限理論之上，極限理論又建立在完備性理論基礎上，因此完備性理論是數學分析學科基礎之基礎。

本文主要羅列了完備性基本定理在實數域

$\mathbb{R}$

、複數域

$\mathbb{C}\sim\mathbb{R}^2$

、以及

維歐式空間

$\mathbb{R}^m$

上的定義。

本文涉及的基本定理有確界存在定理、單調有界定理、閉區間套定理、緊性定理（有限覆蓋定理、聚點原理、緻密性定理）、柯西收斂原理。

一、確界存在定理

確界存在定理

，簡稱

確界定理

。

定理1.1（確界存在定理）

：非空有上（下）界的數集必存在上（下）確界。

確界定理僅在實數域上討論，不在複數域、多維歐式空間進行推廣。

總結：數集這個詞，限定了這個定理只能在實數空間這樣的一維環境。

二、單調有界定理

定理2.1（單調有界定理）

：單調遞增（遞減）有上（下）界的數列，必有極限，且極限為上（下）確界。

單調有界定理僅在實數域上討論，不在複數域、多維歐式空間進行推廣。

三、閉區間套定理

閉區間套定理

，簡稱

區間套定理

。

定理2.1.1（實數域上閉區間套定理）

：實數序列

$\{a_n\}$

和

$\{b_n\}$

構成閉區間列

$\{[a_n,b_n]\}$

，滿足

（1）

$\forall n\in \mathbb{N}^+$

，有

$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$

；

（2）

$\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$

。

則實數閉區間列

$\{[a_n,b_n]\}$

，存在唯一公共點

，且

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=c$

。

唯一公共點

，即

$\displaystyle \{c\}=\bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]$

簡單表述

：全序集中任一區間長趨於零的閉區間套有非空交集。

注：該定理閉區間條件必不可少，例如區間列

$\displaystyle \left\{\left(0,\frac{1}{n}\right)\right\}$

和

$\{[n，+\infty)\}$

都不存在公共點

。

定理2.1.2（複數域上閉區間套定理）

：設

是

$\mathbb{C}$

中的一列非空閉集。若對於

$n\in\mathbb{N}^+$

滿足

$F_{n+1}\subset F_n$

，並且

$\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{diam}F_n=0$

，則存在唯一的一個點

$z_0 \in C$

，使得

$\displaystyle \{z_0\}=\bigcap_{n=1}^{+\infty}F_n$

。

定理2.1.3（區間套定理在 #FormatImgID_26# 上的推廣）

：設在

$\mathbb{R}^m$

中有以

$\vec{x_n}$

為中心，

為半徑的閉球列

$\overline{U}(\vec{x_n};r_n)$

，它滿足：

（1）

$\overline{U}(\overrightarrow{x_{n+1}};r_{n+1})\subset \overline{U}(\vec{x_n};r_n)$

；

（2）

$\lim\limits_{n\to+\infty}r_n=0$

。

則，存在唯一的點

$\displaystyle \vec{x_0}=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\overline{U}(\vec{x_n};r_n)$

，且

$\lim\limits_{n\to+\infty}\vec{x_n}=\vec{x_0}$

。

總結：區間套定理（n維閉球可以收縮至任意一個0維的點）

四、有限覆蓋定理

定義4.1（緊集）

：如果集合

的任一開覆蓋必有有限子覆蓋，則稱

是

緊集

。

定理4.2.1（實數域上有限覆蓋定理）

：

$\mathbb{R}$

中任意閉區間都是緊集。

其他表述1

：如果一個閉區間可以被一個開區間集合所覆蓋，那麼這個閉區間一定可以被這個開區間集合中的有限個開區間所覆蓋。

其他表述2

：若開區間所成的區間集

覆蓋閉區間

，則可以從

中選出有限個區間覆蓋

。

其他表述3

：設閉區間

被開區間集合

$\Sigma=\{\sigma\}$

所覆蓋，則一定能從

$\Sigma$

中選出

的一個有限覆蓋

$\Sigma^*=\{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\}$

。

注：區間集

必須為開區間集，否則集合不能成立。開區間集向高維進行概念擴充為開集。

定理4.2.2（複數域上有限覆蓋定理）

：

$\mathbb{C}$

中任意有界閉集都是緊集。

定理4.2.3（ #FormatImgID_49# 維歐式空間 #FormatImgID_50# 上有限覆蓋定理）

：

是

$\mathbb{R}^m$

中的有界閉集的充要條件是：

是緊集。

總結：有限覆蓋定理（

有界閉集等價於緊集

）。

五、聚點原理

聚點

，又叫

極限點

，如果點

$\vec{x_0}$

的任意小的一個空心鄰域

$\overset{\circ}{U}(\vec{x_0};\delta)$

都含有點集

中的點，則稱

$\vec{x_0}$

是

的聚點。

定理5.1.1（實數域上聚點定理）

：

$\mathbb{R}$

上任一有界的無窮點集必有聚點。

定理5.2（複數域上聚點定理）

：

$\mathbb{C}$

中任意有界無窮集合必有聚點。

定理5.3（ #FormatImgID_61# 維歐式空間 #FormatImgID_62# 上聚點定理）

：

$\mathbb{R}^m$

中的有界無窮點集必有聚點。

總結：聚點定理（

有界無窮點集必有聚點

）。

六、緻密性定理

緻密性定理

，又叫

魏爾斯特拉斯-波爾查諾(Weierstrass-Bolzano)定理

、

波爾查諾定理

。

定理6.1.1（實數域上緻密性定理）

：

$\mathbb{R}$

中任意有界數列必有收斂的子數列。

定理6.1.2（複數域上緻密性定理）

：

$\mathbb{C}$

中任意有界序列必有收斂子序列。

定理6.1.3（ #FormatImgID_66# 維歐式空間 #FormatImgID_67# 上緻密性定理）

：

$\mathbb{R}^m$

中的任意有界序列必有收斂子序列。

總結：緻密性定理（

有界序列必有收斂子列

）。

七、柯西收斂原理

柯西（Cauchy）序列

，不同教科書上又叫

柯西基本序列

、

基本序列

、

基本列

，在一維情況下可稱作

柯西數列

。

柯西序列的定義如下：

定義7.1.1（實數域上柯西序列）

對於實數數列

$\{x_n\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

。

定義7.1.2（複數域上柯西序列）

對於複數序列

$\{\vec{z_n}\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

。

定義7.1.3（ #FormatImgID_75# 維歐式空間 #FormatImgID_76# 上柯西序列）

對於

$\mathbb{R}^m$

中的序列

$\{\vec{x_n}\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

。

不同教科書上，柯西序列還有另一種明顯等價的定義方式：

定義7.2.1（實數域上柯西序列）

對於實數數列

$\{x_n\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

時，對一切自然數

，均有

$|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$

。

定義7.2.2（複數域上柯西序列）

對於複數序列

$\{\vec{z_n}\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

時，對一切自然數

，均有

$|\overrightarrow{z_{n+p}}-\vec{z_n}|<\varepsilon$

。

定義7.2.3（ #FormatImgID_91# 維歐式空間 #FormatImgID_92# 上柯西序列）

對於

$\mathbb{R}^m$

中的序列

$\{\vec{x_n}\}$

，如果

$\forall \varepsilon>0$

，當

時，對一切自然數

，均有

$|\overrightarrow{x_{n+p}}-\vec{x_n}|<\varepsilon$

。

柯西收斂原理

，又叫

序列收斂原理

、

點列收斂原理

、

完備性定理

、

柯西準則

。

定理7.3.1（實數域上柯西收斂原理）

：

$\mathbb{R}$

中的數列

$\{x_n\}$

收斂的充要條件是：

$\{x_n\}$

是柯西數列。

定理7.3.2（複數域上柯西收斂原理）

：

$\mathbb{C}$

中的序列

$\{\vec{z_n}\}$

收斂的充要條件是：

$\{\vec{z_n}\}$

是柯西序列。

需要注意的是，

$\vec{z_n}=(x_n,y_n)$

是複平面上的點，是二維向量。

定理7.3.3（ #FormatImgID_106# 維歐式空間 #FormatImgID_107# 上柯西收斂原理）

：

$\mathbb{R}^m$

中的序列

$\{\vec{x_n}\}$

收斂的充要條件是：

$\{\vec{x_n}\}$

是柯西序列。

同樣，需要注意的是，

$\vec{x_n}$

是

維歐式空間

$\mathbb{R}^m$

中的點，是

維向量。

對定理7。3。3的證明：必要性的證明與

$\mathbb{R}^1$

空間情形相同，在充分性的證明中，只要注意到

$\vec{x_n}$

的每個分量

$\vec{x_{n,i}} (i=1,2,\cdots,m)$

也是柯西序列，即可得證。

總結：柯西收斂原理（

收斂列等價於基本列

）。由於命題”基本列一定是收斂列“可由序列極限的定義直接推出，所以一般來說，柯西收斂原理的核心意義是：基本列一定是收斂列。

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