第四講函式的極限

寫在前面的話：

久等了，這兩天忙於工作，沒有大量時間更文，不過我每天仍然會碼一些字。

關於函式極限的定義，大家似乎在剛學高數的時候很困擾，不要擔心，只要認真去理解，多花時間反覆研讀定義，你一定會有所收穫，我的這篇文章也會幫助你理解它。這兩天收到了大家的反饋，我很高興你們能支援我，同時細心的你們也給我提出了幾處失誤，我一一改正了。失誤是難免的，以後我儘量規避，同時也請你們發現時及時提出。

如果你已經看了我前面兩節關於數列極限（戳我瞭解）的內容，相信你一定會很容易理解本講內容，如果你還沒有看過，本人也牆裂。。。牆裂。。。建議你回頭看看。多研讀幾遍，只有這樣才能內化為自己的知識。

懂了定義，本講的其他部分也就迎刃而解了，但是如果你在看本文中的例題時還是有點困難，那麼再不厭其煩地回頭研讀定義吧。我們一起學習吧~

一、自變數趨近於有限值時函式的極限

1.函式極限定義之描述性定義：

如果在

$x\rightarrow x_0$

的過程中，對應函式值

無限接近於確定的常數

，那麼就說

是

當

$x\rightarrow x_0$

時的極限。記作

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A或f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$

那麼這個描述性定義怎麼精確化，給出函式極限的精確定義呢？

我們來分析一下什麼叫“函式

無限接近於常數

”？

函式

無限接近於常數

，就是

可以任意小，小到什麼程度呢？就是可以小到你事先任意給定的任意小正數

$\varepsilon$

，即

$|f(x)-A|<\varepsilon$

。所以我們說

無限接近於常數

，是用

$|f(x)-A|<\varepsilon$

來刻畫的。

無限接近於常數

，是在哪個過程中實現的呢？

是在

$x\rightarrow x_0$

的過程中實現的。所以只是對

附近的（或者說無限接近於

的）那些點，函式值滿足

$|f(x)-A|<\varepsilon$

（

$\varepsilon$

為任意給定的正數，可以任意小）。那麼對

附近的

，我們怎麼刻畫呢？我們可以這樣刻畫：

$0<|x-x_0|<\delta$

，

$\delta$

為某一個正數，用幾何意義來說就是，在

的某一個去心鄰域內（戳我瞭解）所有點的函式值滿足不等式

$|f(x)-A|<\varepsilon$

。這就是“在

$x\rightarrow x_0$

的過程中，對應函式值

無限接近於確定的常數

”的實質。

這樣我們就可以輕鬆理解函式極限的精確定義了：

2。

函式極限定義之精確定義:

（

$\varepsilon-\delta$

語言）：設

在點

的某個去心鄰域內有定義，如果對於任意給定的正數

$\varepsilon$

，總存在一個正數

$\delta$

，使對於適合不等式

$0<|x-x_0|<\delta$

的一切

，對應的函式值

滿足

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，那麼稱常數

為函式

當

$x\rightarrow x_0$

時的極限，記作

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A或f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$

注：（1）定義中

表示

$x\neq x_0$

，所以即使

在

沒有定義，

在

點也可以有極限。因為我們研究極限是研究

$x\rightarrow x_0$

過程中

的變化趨勢，而與

在

處有無定義沒有關係。

（2）

$\delta$

的取值與

$\varepsilon$

有關，且

$\delta$

不唯一。也就是說，任意給一個

$\varepsilon$

就會有一個

$\delta$

與之對應，換一個

$\varepsilon$

就換一個

$\delta$

，這一點和數列極限中的

是一樣的。

（3）

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

的幾何解釋：

$|f(x)-A|<\varepsilon$

等價於

$A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$

。對於任意給定的

$\varepsilon>0$

，存在

的

$\delta$

去心鄰域

$\mathring{U}(x_0,\delta)$

，當

影象上的點橫座標落在

的

$\delta$

去心鄰域

$\mathring{U}(x_0,\delta)$

內，這些點的縱座標滿足

$A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$

。即這些點落在下圖中的紅色虛線矩形框內：

利用極限的定義證明函式的極限：

例1：

證明

$\lim\limits_{x\to x_0}C=C$

，此處

為常數。

證明：根據極限定義，對任給的

$\varepsilon>0$

，由於

，取

$\delta$

是任意的正數，都有當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-c|=0<\varepsilon$

。故

$\lim\limits_{x\to x_0}C=C$

。

例2：

證明

$\lim\limits_{x\to x_0}x=x_0$

證明：根據極限定義，對任給的

$\varepsilon>0$

，由於

，為使

$|f(x)-x_0|<\varepsilon$

，只要

$|x-x_0|<\varepsilon$

。取

$\delta=\varepsilon$

，則當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-x_0|=|x-x_0|<\varepsilon$

。故

$\lim\limits_{x\to x_0}x=x_0$

。

例3：

證明

$\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)=1$

證明：根據極限定義，對任給的

$\varepsilon>0$

，由於

，為使

$|f(x)-1|<\varepsilon$

，只要

$2|x-1|<\varepsilon$

即

$|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}$

。取

$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$

，當

$0<|x-1|<\delta$

時，有

$|f(x)-1|=2|x-1|<\varepsilon$

。故

$\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)=1$

。

例4：

證明

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

，

$(x\neq 1)$

雖然

在

處沒有定義，但是根據函式極限的定義我們知道，這並不影響

在

處有極限。

證明：對於任給的

$\varepsilon>0$

，要使

$|f(x)-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|(x+1)-2|=|x-1|<\varepsilon$

，只需

$|x-1|<\varepsilon$

，取

$\delta=\varepsilon$

，則當

$0<|x-1|<\delta$

時，

$|f(x)-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|x-1|<\varepsilon$

，故

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

。

例5：

證明當

時，

$\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$

。

證明：對於任給的

$\varepsilon>0$

，要使

$|f(x)-\sqrt a|=|\sqrt x-\sqrt a|=|\frac{(\sqrt x-\sqrt a)(\sqrt x+\sqrt a)}{\sqrt x+\sqrt a}|=|\frac{x-a}{\sqrt x+\sqrt a}|\leq\frac{1}{\sqrt a}|x-a|<\varepsilon$

，只需使

$|x-a|<\sqrt a \varepsilon$

，且函式只有在

$x\geq 0$

時才有意義，故又有

$|x-a|\leq a$

。取

$\delta=\min{\{\sqrt a \varepsilon,a}\}$

，則當

$0<|x-a|<\delta$

時，

$|\sqrt x-\sqrt a|<\varepsilon$

。故

$\lim\limits_{x\to a}\sqrt x=\sqrt a$

。

3.極限的區域性保號性定理

定理1：

如果

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，且

，那麼存在

的去心鄰域，當

在該鄰域時，有

。

這個定理其實不難理解，我們知道

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，且

，就是說當

趨近於

時，

趨近於一個大於

的數

。這樣的話函式

在

的某個小的去心鄰域內也應大於

，否則它不可能無限接近於一個大於

的常數

。

時是同樣的道理。下面我們來證明這個定理：

證明：因為

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，且

，根據極限的定義中

$\varepsilon$

的任意性，僅僅針對此問題而言，我們不妨特意給定一個

$\varepsilon$

它滿足

$0<\varepsilon<A$

，那麼肯定會存在一個相應的

的去心鄰域

$\mathring U(x_0,\delta)$

，使當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，即

$A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$

①，又因為我們給定的

$\varepsilon$

滿足

$0<\varepsilon<A$

，結合不等式①的左側可知

$f(x)>A-\varepsilon>0$

。證畢！

定理1':

如果

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

$(A\neq 0)$

，那麼必存在

的某去心鄰域，當

在該鄰域時，有

$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$

。

證明：因為

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$

，根據函式極限的定義，對給定

$\varepsilon_0=\frac{|A|}{2}>0$

，必然有

$\delta>0$

，使當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon_0$

，由絕對值不等式的特點，可以進一步有

$||f(x)|-|A||\leq |f(x)-A|<\varepsilon_0$

，所以

$|f(x)|>|A|-\varepsilon_0=|A|-\frac{|A|}{2}=\frac{|A|}{2}$

。證畢！

定理2：

如果在

的某個去心鄰域內

$f(x)\ge 0(f(x)\le 0)$

，而且

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，那麼

$A\ge 0(A\le 0)$

。

該定理的證明需要利用

定理1

的結論。下面我們來證明，

證明（反證法）：存在

的某個去心鄰域，使該鄰域內

$f(x)\ge 0$

，則極限值

$A\ge 0$

。若不然，假設

，根據

定理1

，存在

的某個去心鄰域，使當

在該鄰域內時，

，這與題設矛盾。證畢！

定理1和定理2都叫函式極限的區域性保號性定理，這個定理在今後推導其它定理時是非常有用的，所以還請重視！

例題.

證明：如果函式

當

$x\rightarrow x_0$

時的極限存在，則函式在

的某去心鄰域內有界（戳我瞭解函式有界）

證明：設

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，根據函式定義，對給定的

$\varepsilon_0=1>0$

，有

$\delta>0$

，使當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon_0=1$

，而

$|f(x)|=|f(x)-A+A|\le |f(x)-A|+|A|\le 1+|A|$

，令

，則當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)|\le M$

。故存在

的某去心鄰域，使該鄰域內函式

有界。

注：

此例中，反之不成立（函式在

的某去心鄰域內有界，但是在

處不一定有極限）。比如

$\sin \frac{1}{x}$

的函式值的絕對值始終小於等於

，有界。但是它在

處的極限值不存在，這在後面第九講（戳我瞭解）中有解釋。此處只要明白這一點即可。

4.單側極限

寫在前面的話：

我們需要知道當

$x \rightarrow x_0$

，

趨近於某個常數時，

可以從左側趨近於

，也可以從右側趨近於

，所以我們有必要討論一下函式

的單側極限的定義：

如果對任給的

$\varepsilon>0$

，總存在

$\delta>0$

，當

$x_0-\delta<x<x_0$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，那麼稱

為

當

$x\to x_0$

時的

左極限

，記作

$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A或f(x_0-0)=A$

。

如果對任給的

$\varepsilon>0$

，總存在

$\delta>0$

，當

$x_0<x<x_0+\delta$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，那麼稱

為

當

$x\to x_0$

時的

右極限

，記作

$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A或f(x_0+0)=A$

。

函式極限與單側極限的關係：

當

$x\to x_0$

時，函式

極限存在的充分必要條件是函式

左極限、右極限都存在並且相等。

證明：（必要性）設

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

，根據函式極限的定義，對任意給定的

$\varepsilon>0$

，有

$\delta>0$

，使當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，這樣就理所當然有：

當

$x_0-\delta<x<x_0$

時，有

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，即

$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$

；

當

$x_0<x<x_0+\delta$

時，有

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，即

$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$

；

從而

$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$

（左右極限存在且相等）。

（充分性）設

$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$

，根據單側極限的定義，可知：

對任給的

$\varepsilon >0$

，有

$\delta_1>0$

，當

$x_0-\delta_1<x<x_0$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

；

對任給的

$\varepsilon >0$

，有

$\delta_2>0$

，當

$x_0<x<x_0+\delta_2$

時，

$|f(x)-A|<\varepsilon$

。取

$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$

，則當

$0<|x-x_0|<\delta$

時，有

$x_0-\delta_1<x<x_0$

及

$x_0<x<x_0+\delta_2$

，從而

$|f(x)-A|<\varepsilon$

，即

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

。

例題：證明函式

$f(x)=\begin{cases}x-1\qquad x<0\\0\qquad\qquad x=0\\x+1\qquad x>0 \end{cases}$

當

$x\to 0$

時，沒有極限。

證明：左極限

$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x-1=-1$

，右極限

$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x+1=1$

。由於左右極限不相等，故

$\lim\limits_{x\to 0}f(x)$

不存在。

從這個題可以看出，討論左右極限的存在性也是證明函式極限存在的重要依據，尤其對於分段函式而言，對於左右極限的討論尤為重要。

二、自變數趨近於無窮大時函式的極限

首先我們先搞清楚如下兩個問題：

趨近於無窮大：

$x\to\infty$

，指

無限增大。

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$

：是指當

無限增大時，

無限接近於

。

這樣我們就很容易理解自變數趨近於無窮大時函式極限的定義了，如下：

定義：

設函式

當

大於某一正數時有定義。如果對於任意給定的正數

$\varepsilon$

，總存在正數

，使當

時，不等式

$|f(x)-A|<\varepsilon$

恆成立，則稱

為

當

$x\to \infty$

時的極限，記作

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A或f(x)\to A(x\to\infty)$

。（這是不是很像數列極限（戳我瞭解）的定義？）

同樣，自變數趨近於無窮大時函式的單側極限定義如下

：

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$

定義為：如果對於任意給定的正數

$\varepsilon$

，總存在正數

，使當

時，不等式

$|f(x)-A|<\varepsilon$

恆成立，則稱

為

當

$x\to -\infty$

時的極限。

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$

定義為：如果對於任意給定的正數

$\varepsilon$

，總存在正數

，使當

時，不等式

$|f(x)-A|<\varepsilon$

恆成立，則稱

為

當

$x\to +\infty$

時的極限。

注：

①值得一提的是

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$

的充分必要條件是

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$

。

②

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$

的幾何解釋為：對任給的

$\varepsilon>0$

，總存在正數

，使當

時，

的影象位於直線

$y=A-\varepsilon$

與

$y=A+\varepsilon$

之間。

例題：證明

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$

證明：根據極限定義，對任給的

$\varepsilon>0$

，要使

$|f(x)-0|=|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}<\varepsilon$

，只需

$|x|>\frac{1}{\varepsilon}$

，取

$X=\frac{1}{\varepsilon}$

，則當

時，

$|\frac{1}{x}-0|<\varepsilon$

，故

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$

。

下面我們來看看這個函式的影象，當

$x\to -\infty$

時，函式值越來越接近於

，當

$x\to +\infty$

時，函式值也越來越接近於

。如下：

一般地，如果

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=C$

，則稱

是函式

的

水平漸近線

。在上圖中，

是

$y=\frac{1}{x}$

的水平漸近線。

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