動力氣象課後題筆記（四）

第四章大氣中的波動

思考題

1.地球旋轉對於波動的性質有何影響？

使得非頻散波全部變成了頻散波

2.小擾動法的基本思想是什麼？其適用範圍如何？

基本思想是把所有物理量分解為已知的基本量和疊加的擾動量，如

$u=\bar u+u$

在此基礎上規定：

基本量滿足原方程組或者簡化方程組和定解條件

小擾動量及其導量的二次項為高階小量，可以略去，使得方程變成線性的

小擾動法只適用於小振幅天氣系統發展的初始階段，因為在發展的旺盛期及以後，擾動量特別大，已經不能再被看作是小量

3.什麼是濾波？濾波的目的是什麼？

為了研究某種波動，必須過濾掉那些對於被研究波動來說是噪聲的波動，這個過程稱之為濾波

4.從物理上說明準地轉近似或準水平無輻散近似可以濾去重力慣性波

重力外波的形成是邊界上的垂直擾動透過交替的輻合輻散傳播的，重力內波的形成有賴於浮力振盪的水平傳播。當大氣是準地轉近似或準水平無輻散時，重力慣性波無法形成或傳播，即可濾去

5.群速度和相速度有何區別？何時兩者一致?

相速度是波的移動速度，群速度是波包的移動速度，可以解釋為振幅值的變化的傳播速度，無頻散時二者一致

6.大氣基本波動中，從最快的聲波到最慢的Rossby波其形成過程中水平速度散度的作用如何？

水平速度散度是水平輻合輻散的基礎，聲波、重力慣性波的形成與傳播都對水平速度散度項有要求，對於大中尺度的Rossby波，水平速度散度可略去用於濾波，但對於超長波，水平速度散度不可忽略

7.上、下游效應的物理本質是什麼？在天氣預報中如何運用？

Rossby波的群速總大於相速，這說明能量的傳播總是快于波動的傳播，使得能量超前傳播到槽脊的下游使得下游有新波產生或加強下游原有槽脊

習題

1.設波動

$\psi=Ae^{i(\vec k\vec x-\omega t)},\vec k=k_x\vec i+k_y\vec j+k_z\vec n,\vec x=x\vec i+y\vec j+z\vec n$

。

證明：等相位面是平面，且與波數矢

$\vec k$

垂直

對於

，令

$\vec k\vec x-\omega t=\theta=const$

，得到

$k_x\cdot x+k_y\cdot y+k_z\cdot z-wt_0-\theta=0\\$

此乃平面方程的一般形式，平面的法向量為

$\vec \alpha=(k_x,k_y,k_z)$

因此

$<\vec \alpha,\vec k>=0\\$

即平面與波數矢垂直

2.在大氣波動的研究中，常需考慮波增強或減弱的可能性。在這種情況下，可以設解的形式為：

$\phi=Ae^{\alpha t}cos(kx-vt-kx_0)\\$

式中，A為初始振幅;α為振幅增長因子；

為初位相。試證明這一表達式可以簡明地寫成

$\phi=Re\{Be^{ik(x-ct)}\}\\$

這裡的B和c都是複數。試用A，α，k，v和

確定B和c的實部和虛部

由題意：

$\phi=Ae^{\alpha t}cos(kx-vt-kx_0)\\=Re[Ae^{\alpha t+ikx-ivt-ikx_0}]\\ =Re[Ae^{-ikx_0}\cdot Ae^{\alpha t+ikx-ivt}]\\ =Re[Ae^{-ikx_0}\cdot Ae^{ik[x-(\frac{v}{k}+i\frac{a}{k})t]}]\\$

令

$B=Ae^{-ikx_0}$

，

$c=\frac{v}{k}+i\frac{a}{k}$

，則原式可寫為：

$\phi=Re\{Be^{ik(x-ct)}\}\\$

3.對均勻正壓流體，考慮摩擦作用下的Rossby波的運動性質，運動方程及連續方程為

$\frac{du}{dt}-fv=-\frac{\partial p}{\partial x}-xu\\ \frac{dv}{dt}+fu=-\frac{\partial p}{\partial y}-xv\\ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\$

（1）推導僅存在緯向基本氣流的線性渦度方程

（2）Rossby波運動的相速度及群速特徵

（3）試分析這類波動的性質

（4）這類波動振幅衰減為初始值的1/e時需要的時間

4.討論散度對大氣長波移動的影響。假設厚度為H的均勻不可壓縮的大氣，方程組可寫成

$\frac{du}{dt}-fv=-g\frac{\partial H}{\partial x}\\ \frac{dv}{dt}+fu=-g\frac{\partial H}{\partial y}\\ \frac{\partial H}{t}+\frac{\partial (uH)}{\partial x}+\frac{\partial (vH)}{\partial y}=0$