第三次課：對易子與角動量算符

上次課覆蓋到的題目較多，所以學習的同學也產生了許多問題，所以特地提了一下需要再補充的數學知識。在新課方面，則主要介紹了

對易子與角動量算符

。

一、數學補充

1、尤拉公式

$e^{i x}=\cos x+i \sin x\\$

進而可以得到：

$\begin{aligned} &\sin \phi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \phi}-e^{-i \phi}\right) \\ &\cos \phi=\frac{1}{2}\left(e^{i \phi}+e^{-i \phi}\right) \end{aligned}\\$

具體證明可以用

的級數展開來證

2、常用無窮級數以及變形技巧

常用的一個無窮級數：

$\frac{1}{1-x}=\Sigma^{\infin}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+x^4......\\$

通常需要依照具體情況，對上式進行

換元、求導、加減、積分

等運算操作，湊成所需要的形式

舉個栗子，比如對兩邊求導可以得到：

$\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\Sigma^{\infin}_{n=0}nx^{n-1}=\Sigma^{\infin}_{n=1}(n+1)x^{n}=1+2x+3x^2+4x^3....\ \\$

3、梯度

梯度的本意是一個向量（向量），表示某一函式在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）

三維空間中梯度運算元為：

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial}{\partial z} \vec{k}$

可以注意到，對標量場作用梯度後得到的是向量場

例子：

1、虛功原理（經典力學中常用）

$\vec F=-\nabla V \\$

2、電磁學中電勢與電場

$-\nabla \Phi=\vec E\\$

4、球諧函式

形式為：

$Y_{l, m}(\hat{\mathbf{r}})=Y_{l, m}(\theta, \phi)=A_{l, m} P_{l}^{m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \phi}$

大致需要知道的是l，m較小時的表示式：

$Y_{0,0}(\theta, \varphi)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi}} \\ \begin{gathered} Y_{1,-1}(\theta, \varphi)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \cdot e^{-i \varphi} \cdot \sin \theta \\ Y_{1,0}(\theta, \varphi)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \cdot \cos \theta \\ Y_{1,1}(\theta, \varphi)=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \cdot \sin \theta \cdot e^{i \varphi} \end{gathered}$

能夠從題目給出的初態辨認出l和m就足夠做題了

球諧函式的3D展示

二、需要記住的量力知識點

大部分推導都比較繁瑣，而且沒法在題目裡考，所以只要記住以下結論就可以應對考試了

1、對易子

定義為：

$[\hat{A}, \hat{B}] \equiv \hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}\\$

有以下性質：

${[\hat{A}, \hat{B}]=-[\hat{B}, \hat{A}] ; \quad[\hat{A}, \lambda]=0} \\ {[\hat{A}, \hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A}, \hat{B}]+[\hat{A}, \hat{C}]} \\ {[\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}]=[\hat{A}, \hat{C}]+[\hat{B}, \hat{C}]} \\ {[\hat{A}, \hat{B} \hat{C}]=\hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]+[\hat{A}, \hat{B}] \hat{C}} \\ {[\hat{A} \hat{B}, \hat{C}]=\hat{A}[\hat{B}, \hat{C}]+[\hat{A}, \hat{C}] \hat{B}} \\ {[\hat{A},[\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C}, \hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A}, \hat{B}]]=0} \ \\$

2、量子力學假設

第二假設

一個力學量算符的所有本徵值就是這個力學量的所有可能取值

若體系處於力學量算符的一個本徵函式描述的狀態下，將有確定值即該本徵函式對應的本徵值

全部本徵函式構成正交歸一化的本徵函式完備組

回憶課堂所講的斯特恩蓋拉赫實驗中，測量Sx和Sz對波函式的影響

第三假設

一個力學量算符的本徵值譜給出這個力學量的所有可能取值

體系的一個運動狀態的歸一化波函式按一個力學量算符的正交歸一化本徵函式完備組展開，式中展開係數的絕對值平方給出體系的這個力學量在這個運動狀態下取所有可能取值的機率分佈

可以計算出這個力學量在這個運動狀態下的期望值

3、角動量算符

算符定義為：

$\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} \rightarrow \hat{\vec{L}}=\vec{r} \times \hat{\vec{p}}=\vec{r} \times(-i \hbar) \nabla \\ \hat{L}^{2}=\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2}$