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預備知識

向量的叉乘

我們定義以下運算

\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}}&(1)\\\end{align}

為向量

\boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}}

的

混合積

． 混合積滿足

\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = ( \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}}&(2)\\\end{align}

這個公式可由圖 1 記憶．

三向量的混合積

圖 1：式 2 記憶法

圖中箭頭的方向由叉乘的方向（順時針或逆時針）決定，與內積無關， 即

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )

．如果混合積的順序取與箭頭相反的方向， 根據叉乘的性質，需要在前面加上負號（叉乘不滿足乘法交換律）． 式 2 與式 3 互為相反數

\begin{align}&( \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}}&(3)\\\end{align}

注意即使將混合積省略括號記為

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}}

或者

\boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}

也應該理解為先叉乘後內積．

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )

沒有定義， 因為向量不能叉乘標量．

幾何法證明

三向量的混合積

圖 2：向量混合積的幾何意義

如圖 2 ， 以三個向量為稜作平行六面體． 由習題 1 可知

\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert

就是

\boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}}

所在平行四邊形的面積． 令

\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}

， 則

\hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}}

為平面的法向量， 平行六面體的高為

\left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert

， 所以平行六面體的體積等於底面積乘以高

\begin{align}&V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert&(4)\\\end{align}

同理可得對於同一平行六面體

\begin{align}&V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert&(5)\\\end{align}

這裡只證明了式 2 的絕對值， 要證明正負號， 定義

\hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} < 0

時

V

為負值即可．

代數法證明

預備知識

行列式

不難證明三矢矢積若展開成分量的形式，等於三個向量組成的行列式

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ C_x & C_y & C_z\end{vmatrix}&(6)\\\end{align}

而利用行列式中任意兩行置換符號改變，即可證明式 2 ．