1.2一網打盡Dirac記號、若干常用算符—

1。左矢與右矢

（a）右矢ket

態向量：

$\left | \psi(t) \right \rangle ,\left |\varphi(t) \right \rangle ,...$

本徵態：

$\left | a_i \right \rangle ,\left |x \right \rangle ,\left |\overrightarrow{p} \right \rangle,\left |lm \right \rangle,...$

（b）左矢bra

態向量：

$\left \langle \psi(t) \right |,\left \langle \varphi(t) \right | ,...$

本徵態：

$\left \langle a_i \right |,\left \langle x \right | ,\left \langle \overrightarrow{p} \right |,\left \langle lm \right |,...$

bra與ket相互對偶

2。內積（inner product）

$\begin{eqnarray} \left \langle \varphi(t) \right |\cdot \left | \psi(t) \right \rangle & = & \left \langle\varphi(t) | \psi(t) \right \rangle \\ \left \langle a_i \right |\cdot \left | a_j \right \rangle & = & \left \langle a_i |a_j \right \rangle \\ \end{eqnarray}$

基本性質：

$\left \langle\varphi | \psi \right \rangle \equiv\left \langle\psi |\varphi \right \rangle ^*=Complex \ function$

兩個態正交：

$\left \langle\varphi | \psi \right \rangle=0 (\left | \varphi \right \rangle ,\left | \psi \right \rangle \ne0)$

態的歸一化：

$\left \langle\psi | \psi \right \rangle =1$

Schwartz不等式：

三角不等式：

$\sqrt{(\left \langle \psi \right | +\left \langle \varphi \right | ) \left ( \left | \psi \right \rangle +\left | \varphi \right \rangle \right ) } \le \sqrt{\left \langle\varphi | \varphi \right \rangle } +\sqrt{\left \langle\psi | \psi \right \rangle }$

3。外積（outer product）

$\left | \psi \right \rangle\left \langle \varphi \right | or \left | \varphi \right \rangle\left \langle \psi \right |$

外積是算符

！

投影算符

$\hat{p}_\varphi=\left |\varphi \right \rangle \left \langle \varphi \right |$

$\begin{eqnarray} \hat{p}_\varphi\left | a \right \rangle & = & \left \langle \varphi | a \right \rangle \left |\varphi \right \rangle \\ \left \langle b \right | \hat{p}_\varphi & = & \left \langle b | \varphi \right \rangle \left \langle \varphi \right | \end{eqnarray}$

4。線性算符與反線性算符

（a）線性算符

$\hat{A}(c_1\left |\varphi _1 \right \rangle +c_2\left |\varphi _2\right \rangle)=c_1\hat{A}\left |\varphi _1 \right \rangle +c_2\hat{A}\left |\varphi _2\right \rangle$

（b）反線性算符

$\hat{B}(c_1\left |\varphi _1 \right \rangle +c_2\left |\varphi _2\right \rangle)=c_1^*\hat{B}\left |\varphi _1 \right \rangle +c_2^*\hat{B}\left |\varphi _2\right \rangle$

5。厄米共軛算符與厄米算符、反厄米算符

（a）厄米共軛算符

若

$\left | \psi$

，定義

$\left \langle \psi$

，

$\hat{A}^\dagger$

為算符

$\hat{A}$

的厄米共軛算符

對於任意的

$\left | \varphi \right \rangle ,\left | \psi \right \rangle$

，若算符

$\hat{B}$

滿足

$\left \langle \psi \right | \hat{B}\left | \varphi \right \rangle =\left \langle \varphi \right | \hat{A}\left | \psi \right \rangle^*$

，則

$\hat{B }$

為

$\hat{A}$

的厄米共軛算符，即

$\hat{B}=\hat{A}^ \dagger$

$\left\{\begin{array}{l} (\hat{A} \hat{B})^{\dagger}=\hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} \\ \left(\hat{A}^{\dagger}\right)^{\dagger}=A \\ (|\psi\rangle\langle\varphi|)^{\dagger}=|\varphi\rangle\langle\psi| \end{array}\right.$

（b）厄米算符（Hermitian operator）

$\hat{A}=\hat{A}^ \dagger$

$\hat{A}\left | a_i \right \rangle =a_i\left | a_i \right \rangle,i=1,2,...$

本徵值

為實數

正交性：厄米算符屬於不同本徵值得本徵態正交

$\left \langle a_i |a_j \right \rangle =\delta_{ij}$

完備性：

$\left | \psi (t)\right \rangle =\sum_{i}c_i(t)\left | a_i \right \rangle$

（c）反厄米算符

$\hat{A}^ \dagger =-\hat{A}$

6。么正算符

$\hat{U}$

（Unitary operator）

定義式：

$\hat{U}^\dagger= \hat{U}^{-1}$

即

$\hat{U} \hat{U}^{\dagger}=\hat{U}^{+} \hat{U}=\mathbb{1}(單位算符)$

么正算符作用下

$\hat{U}|\psi\rangle \equiv\left|\psi^{\prime}\right\rangle, \quad U|\varphi\rangle \equiv\left|\varphi^{\prime}\right\rangle$

，內積保持不變

$\left\langle\psi^{\prime} \mid \varphi^{\prime}\right\rangle=\left\langle\psi\left|\hat{U}^{\dagger} \hat{U}\right| \varphi\right\rangle =\langle\psi \mid \varphi\rangle$