機率密度函式在某一點的值有什麼意義？知乎使用者2014-04-02 00:06:11

落在寬為epsilon的小區間內的機率除以epsilon，在epsilon趨於0時的極限。

機率密度函式在某一點的值有什麼意義？知乎使用者2016-05-24 09:31:12

把機率理解為質量，質量等於體積乘密度，那麼類似，機率等於區間乘機率密度。物體某一點的密度該如何理解呢？某一點的機率密度同此理解。

機率密度函式在某一點的值有什麼意義？白噪聲2017-01-07 19:54:42

首先，某一點上的機率密度函式值並沒有多大的意義。但是從

微分元

的角度來說，機率密度函式

f(x)

的值乘以微分元

dx

可以得到小區間

(x_{0} ,x_{0} +dx)

上的機率近似值。也就是說，

P(x<X<x+dx)\approx f(x)dx

。

此外，像某答案所說的機率密度函式可以看成是

直方圖的平滑近似

。

a probability density function can be seen as a "smoothed out" version of a histogram

：

if one empirically samples enough values of a continuous random variable, producing a histogram depicting relative frequencies of output ranges, then this histogram will resemble the random variable's probability density, assuming that the output ranges are sufficiently narrow

。。

作者：雨宮夏一

連結：機率密度函式在某一點的值有什麼意義？ - 雨宮夏一的回答 - 知乎

為了方便理解這裡直接貼茆詩松機率論與數理統計教程上的圖。從圖上看就更清晰了。

機率密度函式在某一點的值有什麼意義？

參考文獻：

茆詩松， 程依明， 濮曉龍。 機率論與數理統計教程 （第2版） ［M］。 高等教育出版社， 2012。

機率密度函式在某一點的值有什麼意義？Kay大2017-10-13 00:43:45

這麼說吧，一個物體，問你它在某一個點處的質量是多少 ？ 因為一個點是無限小的，所以點的質量一定為0。然而這個物體是由無數個點組成的，假如我們又需要求它質量，怎麼辦呢 ？於是引入密度的概念

\rho=\lim_{V \rightarrow 0}{\frac{△m}{△V}}

，最後再把密度積分就可以得到質量m了。

同理，如果在［0，1］上隨機取點，求取在某一點處的機率，點的長度無限小，此機率一定為0。這時情況和上面所述類似，我們需要引入機率密度p，其中p=

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{△p}{△x}}

。這樣我們就可以求所取點落在某一段（a，b）上的機率了。機率p=

\int_{a}^{b}p(t)dt

。

總結：為什麼要叫機率密度，因為它和物理上的密度本質上是一樣的。物體在某些位置密度大，證明在這些位置“比較重”。同理，在某一段上機率密度大，證明樣本落在這一段的比重大。想想正態分佈鐘形曲線，中間機率密度大，證明取中間的值最多。。

你做題的時候一般就兩種。一。告訴你機率密度函式，求分佈函式，積分就好了。二。告訴你分佈函式，求機率密度函式，求導就好了。就像初中物理題告訴你物體的密度讓你求質量。告訴你質量讓你求密度。

so……不要想得太複雜。就把機率密度當成物理密度就好了。

b站講解，懂了的可不聽了：

3分鐘告訴你抽象的機率密度怎麼來的

機率密度函式在某一點的值有什麼意義？知乎使用者2018-08-16 14:26:07

比較容易理解的意義。不用公式。

某點的

機率密度函式

即為

機率在該點的變化率

（或導數）。

很容易誤以為 該點機率密度值 為 機率值。 理解了這個就明白 機率密度函式是做什麼的了。

比如： 距離（機率）和速度（機率密度）的關係。

某一點的速度， 不能以為是某一點的距離

沒意義，因為距離是從XX到XX的概念

所以， 機率也需要有個區間。