01柯西的極限思想的缺陷；
柯西是極限理論的集大成者，他使得整個微積分理論建立在極限理論的基礎之上，使分析學開始一步步走向嚴格化。可以說，分析學的歷史發展是以柯西為分界線的，而後面的數學大師們都可看作是他的門徒。
以嚴格化為目標，柯西對微積分的基本概念，如變數、函式、極限、連續性、導數、微分、收斂等等給出了明確的定義，並在此基礎上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。以下是柯西關於
極限
的定義：
當屬於一個變數的相繼大的值無限地趨近某個固定值時，如果最終固定值之差可以 隨意地小，那麼這個固定值就稱為所有這些值的極限。
然而柯西的極限思想並不是沒有缺陷的。極限理論在當時還只能說是“比較嚴格”，人們不久便發現柯西的理論實際上也存在漏洞。例如，他用了許多“
無限趨近
”、“
想要多小就多小
”等直覺描述的語言。
我們在這裡不得不提到另外一位傳奇的分析學大師——
魏爾斯特拉斯
。
魏爾斯特拉斯（Weierstrass Karl Theodor Wilhelm，1815年10月31日-1897年2月19日）
02維爾斯特拉斯的嚴格化的極限理論的描述；
在數學史上，魏爾斯特拉斯關於分析嚴格化的貢獻使他獲得了“現代分析之父”的稱號，這種嚴格化的突出表現是創造了一套
語言，用以重建分析體系。
魏爾斯特拉斯重新給出極限的定義：
#FormatImgID_4# ，當且僅當對於任意的 #FormatImgID_5# ，存在一個 #FormatImgID_6# ，使得只要 #FormatImgID_7# ，就有 #FormatImgID_8#
他批評柯西等前人採用的“無限地趨近”等說法具有明顯的運動學語義，代之以更精密的
表述，用這種方式重新定義了極限、連續、導數等分析基本概念，特別是透過引進以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議和混亂。可以說，數學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上歸功於魏爾斯特拉斯的工作。
極限概念的演變事實，也反映了一個情況，就是當時的數學家們對待幾何直觀更為慎重。一個例子，是當時人們對連續曲線的理解，人們以前曾認為連續曲線最多在某些點處不可導，但大部分點都是可導的。
高斯
曾經稱“
數學是眼睛的科學
”，但是要看清魏爾斯特拉斯擺在數學家們面前的這條曲線，單靠一雙好眼睛是無論如何不夠的。沒錯，魏爾斯特拉斯找到了
這樣一條曲線，它連續，但是處處不可導
，真是天下之大奇，一舉震驚了數學界。
魏爾斯特拉斯的例子使人們迫切感到徹底擺脫對幾何直覺的依賴，重新認識考察分析基礎的必要性。於是極限理論被嚴格化了。 這就是魏爾斯特拉斯新的極限定義，從靜態、代數的角度重新理解極限，借用不等式來表達。
另一位德國數學家戴德金在年開始講授微積分時說過的一段話，也反映出當時的數學家不滿足於柯西的標準。
但是光有嚴格化的極限理論也是不夠的，事實上，我們仍面臨一個極限值是否存在的問題。柯西、魏爾斯特拉斯他們也似乎早已預感到了要著手解決這樣一個問題。
03為什麼極限理論的建立需要實數理論？
我們不妨開門見山，首先要問——我們的連續性是否需要實數？柯西列極限的存在性是否需要實數？零點定理的保證是否也需要實數？
如果數系不是連續的，是離散的，那麼某些數列的極限是否存在就值得懷疑。
我們知道，現代的極限定義是用實數來定義一個數列的極限值的。但是對於有理柯西列，放在有理數域，它的極限值就不一定存在。
另外，我們考慮介值定理，最簡單的就是
零點存在定理
。想象一下一條曲線穿過數軸，直觀的判斷必然會有零點存在嗎？我們說，當然，怎麼可能沒有零點存在呢。不過，我們這裡已經預設這樣一條數軸是連續的，這裡就要糾結一下，這裡的數是什麼，是單純的有理數嘛？這時還沒有實數。
因為有理數儘管是稠密的，但它是離散的，而且無理數還沒有被嚴格定義。如果不嚴格定義實數，不是放在實數系去考慮，那麼單純藉助極限理論我們無法得到這樣美妙且直觀的定理。
我們不禁要大聲疾呼：
連續性需要實數的嚴格定義！
柯西列極限的存在需要實數的嚴格定義！
零點定理的保證也同樣需要實數的嚴格定義！
微積分計算是在實數舞臺上進行的，但直到19世紀中葉，對於什麼是實數，竟還沒有明確的定義。數學家們對實數系本身仍然是以直觀的方式來理解的，他們相當隨意地使用無理數如（
），而沒有認真考察它們的確切意義和性質。為了進行計算，他們依靠了這樣的假設：任何無理數都能用有理數來任意逼近，如
由於對實數系缺乏充分的理解，就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎。
魏爾斯特拉斯認為實數賦予我們極限與連續性等概念，從而成為全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。
為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數歸結為整數（有理數），這樣，分析的所有概念便可由整數匯出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補，這就是所謂“分析算術化”綱領。
其實最早給實數下定義的數學家是柯西，不過他有一個BUG。他把實數定義為一個有理收斂數列的極限。可是這裡不小心埋下了矛盾的種子。我們如果不詳加考察，可能不會發現，這裡存在著
迴圈論證
。怎麼理解呢？如果把實數定義為極限，而極限本身又是由實數定義的，這裡就相互論證了。好比用A來證明B，為了說明A的正確性，我們又用B來證明A。這就是迴圈論證。迴圈論證等於沒證。
在1857年開始的解析函式論課程中，魏爾斯特拉斯才給出了第一個嚴格的實數定義，避免了柯西的迴圈論證。這個定義大意是先從自然數出發定義正有理數，然後透過無窮多個有理數的集合來定義實數，像大多數情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授。1872年，有人曾建議他發表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了。
這樣講，對於我們理解上，恐怕沒有多大用處。我們不妨簡單一點。直白的講，魏爾斯特拉斯的辦法就是把實數定義為單調遞增的有理柯西序列，簡單點實數就是有理序列。
或許有很多人可能不理解。數怎麼是序列呢？怎麼可以這樣定義？！
如果我們考察數的發展歷史，我們或許就不會這樣驚訝了。早期，人們認為最本真的數是自然數，這時我們理解的數就是整數。接著數系得到了擴充產生了有理數，所有的數都可以看作一個分數，包括整數，也同樣可以寫成分數，這時我們對數的理解加深了一步。現在不過是到了實數系，所有的數都可以看成一個序列，這個才是對數更本質的認識。在實數域上，所有的數都排布在一條數軸上。當然到了複數域，數已經不再侷限於一維數軸了，而是發展到了只有直角座標系才能表達的地步。
1872年，戴德金、康托爾（G Cantor，1845-1918），梅雷（H。C。Meray）、和海涅（H。E。Heine）等人幾乎同時發表了他們各自的實數理論，這些實數定義有其相似性，而其中戴德金和康托爾的實數構造方法正是我們現在通常所採用的。
