無為輕狂2021-11-16 20:41:061、定義為：頭條萊垍
設函式f（x）在區間I上有定義，若對I中的任意兩點x₁和x₂，和任意λ∈（0，1），都有：萊垍頭條
f（λx₁+（1-λ）x₂）>=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），垍頭條萊
則稱f為I上的凸函式，若不等號嚴格成立，即“>”號成立，則稱f（x）在I上是嚴格凸函式。萊垍頭條
同理，如果“>=“換成“<=”就是凹函式。類似也有嚴格凹函式。垍頭條萊
2、從幾何上看就是：萊垍頭條
在函式f（x）的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。同理可知，如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那麼這個函式就是凸函式。萊垍頭條
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。萊垍頭條
如果函式f（x）在區間I上二階可導，則f（x）在區間I上是凸函式的充要條件是f‘’（x）<=0；f（x）在區間I上是凹函式的充要條件是f‘’（x）>=0。萊垍頭條
萊垍頭條
擴充套件資料：萊垍頭條
不同說法：萊垍頭條
不過補充一下，中國數學界關於函式凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函式，影象的凹凸與直觀感受一致，卻與函式的凹凸性相反。只要記住“函式的凹凸性與曲線的凹凸性相反”就不會把概念搞亂了。萊垍頭條
另外，國內各不同學科教材、輔導書的關於凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準確說明：萊垍頭條
1、f（λx1+（1-λ）x2）<=λf（x1）+（1-λ）f（x2） ， 即V型，為“凸向原點”，或“下凸”；條萊垍頭
2、f（λx1+（1-λ）x2）>=λf（x1）+（1-λ）f（x2） ， 即A型，為“凹向原點”，或“上凸”；萊垍頭條
凸/凹向原點這種說法一目瞭然。上下凸的說法也沒有歧義。萊垍頭條
在二維環境下，就是通常所說的平面直角座標系中，可以透過畫圖直觀地看出一條二維曲線是凸還是凹，當然它也對應一個解析表示形式，就是那個不等式。萊垍頭條
但是，在多維情況下，圖形是畫不出來的，這就沒法從直觀上理解“凹”和“凸“的含義了，只能透過表示式，當然n維的表示式比二維的肯定要複雜，但是，不管是從圖形上直觀理解還是從表示式上理解，都是描述的同一個客觀事實。萊垍頭條
而且，按照函式圖形來定義的凹凸和按照函式來定義的凹凸正好相反。條萊垍頭
